信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学设计与反思

在学生成绩处理中正态分布函数的应用

一、原始成绩的处理

为了让数据满足系统功能需求，对学生考试成绩作必要处理。学生在平时学习过程中，有各种类型的考试，范围最小的是一个班级范围的单元测试，大范围的有全市或全大市的统一考试，有期中、期末考试，更频繁的是平时以班级为单位的小测验。不同阶段，不同等级类型的考试，试卷的分值也不一样，满分有100分，也有120分、160分、200分的。同时考试试卷的难度也不一样，虽然各次考试的成绩服从正态分布，但随着难度的变化均值μ也会变化，难度高了则均值μ变小，难度低了则均值μ变大。为了消除各种因素对系统的影响，为了让数据有一个正确的可比性，可把各次考试成绩进行规范化处理。

正态分布是一个概率分布，其密度函数如图4-19(a)所示，函数的曲线如图4-19(a)所示，μ是呈正态分布数据的均值，σ是呈正态分布数据的标准差。μ决定了曲线的左右位置，σ决定了曲线的形态，σ越大则数据的离散程度越大，曲线显得扁平，σ越小则数据相对较集中，曲线显得陡峭。当μ=0，σ=1时的正态分布叫做标准正态分布，其密度函数如图4-19(b)所示，函数的曲线如图4-19(b)所示。

f(x)12e(x)2221x2f(x)e22

图4-19 正态分布

虽然人的智力水平、认知能力、学习能力、动手能力都呈正态分布，但在长期的教学工作中发现，学生的成绩统计结果呈现偏正态分布，概率密度函数曲线并不严格对称。这是由于学校的教学水平差异、教师教学能力的差异、生源的差异以及学习环境的不同对成绩的分布产生了影响，同时对曲线对称性产生影响的是成绩数值的取值范围，如图4-19(c)所示。试卷的满分分值对μ的影响显而易见，但我们通过标准化变换就能消除这种影响，可用标准正态分布来计算各种不同分值下的概率分布。试卷的难易程度同样对μ值产生影响，这种影响可同样通过标准化变换消除。教师在试卷的命题中还有一个重点是试卷的区分度，其目的是把不同水平的学生区分开来，不管试卷的难易程度如何没有区分度的试卷对高校的录取是不利的。试卷区分度主要影响的是正态分布中σ的值，试卷难度高了，σ的值不一定大即区分度不一定大，试卷太容易则σ值必定会小即区分度不够，高考试卷有较高的难度和很好的区分度。其他影响σ值有学生的能力水平、学校的教学水平，而这些在生源正常的情况下以及同一所学校相对较短的时间内σ

值变化不大。由以上分析可见，只要试卷有适当的区分度，其他的影响可通过成绩数据的规范化处理得到消除。

数据规范化处理的理论依据是：如果一次考试的平均分为μ、方差为2，则成绩x服从正态分布N(μ, 2)即x~ N(μ, 2)。为了把这次成绩转换成高考成绩，用公式4-1计算得到z的值，则z~N(0,1)，就是标准分z满足标准正态分布。

xz

(公式：4-1) 最后通过线性变换y=az+b得到高考的估测成绩y，b是这些学生参加高考的平均成绩，a是参数，需通过测算才能得到。在整个变换过程中，学生的成绩分布没有改变，只改变了均值。可见，a、b的选取非常重要，只有这两个选择适当了，才能正确得到高考的估测成绩。

数据规范化处理的方法：下面以理科数学为例说明。高中学生一个学期中进行四次统一考试，两次月考、一次期中考试、一次期末考试,高三下月期只有三次模拟考，在平时的学习中还有很多非统一的练习测验等。设有n名学生参加考试，第i名学生的成绩为xi，同时学校最近一年参加高考的平均成绩为b，最高分为bmax。首先计算这次考试的平均分x，方差S和标准差，用公式4-1计算得到第i位同学的标准分Zi其中这些学生中的最高标准分设为Zmax，此时参数a用公式4-2来计算。

abmaxb

(公式:4-2) Zmax最后用线性变换y=aZ+b把每一位学生的成绩转换成高考评估成绩。

a的值不能超过3，否则可能引起分数数值溢出正常分值的范围。如果发现有学生有缺考的，高考评估成绩用上一次的高考评估成绩填入，为以后的数据分析提供方便。

二、高考成绩的预测

高考成绩的预测有二种方法。一是通过简单的统计方法得到，另一种是通建立数据仓库后用数据挖掘技术得到。不管是哪一种方法，都要在原始成绩的基础上先进行数据的正态变换，得到有可比性的数据即得到高考评估成绩后再进行预测，这里分析前一种方法。

由于学生的成绩不是一成不变的，是一个不断变化的动态过程，为了有一个可靠的依据来预测这样一个动态的变化，用学生最近连续五次的高考评估成绩来进行预测。如果学生最近五次连续高考评估成绩为：y1、y2、y3、y4、y5，这其中y1为较早的评估成绩，y5为最近一次的评估成绩，则可用公式4-4来进行预测高考成绩y，p1、p2、p3、p4、p5为各个成绩在预测成绩中所占的权重，

yp1y1p2y2p3y3p4y4p5y5

(公式:4-4) 越近的成绩越能说明学生的当前水平故所占权重越大，时间过得越长的成绩只能p1=5%、反映出学生对以前基础的掌握程度故相对权重较小，这些参数的取值为：p2=5%、p3=10%、p4=10%、p5=70%，如发现预测值与考试的偏差太大，则可

对这些参数进行调整。

如果是入学的新生，则入学成绩通过正态变换后的高考评估成绩同时赋值给y1、y2、y3、y4、y5，再通过公式4-4计算得到高考预测成绩。当新生进行了一次考试，则把这一次的成绩正态变换成高考评估成绩后赋值给y5，再用公式4-4计算高考预测成绩。新生进行了二次考试后，先用y5赋值给y4，再把第二次考试成绩变换成高考评估成绩赋值给y5，最后用公式4-4来计算高考预测成绩。新生进行了三次考试后，先用y4赋值给y3，用y5赋值给y4，再把第三次考试成绩变换成高考评估成绩赋值给y5，最后用公式4-4来计算高考预测成绩。新生进行了四次考试后，先用y3赋值给y2，用y4赋值给y3，用y5赋值给y4，再把第四次考试成绩变换成高考评估成绩赋值给y5，最后用公式4-4来计算高考预测成绩。进行了五次考试后，先用y2赋值给y1，用y3赋值给y2，用y4赋值给y3，用y5赋值给y4，再把第五次考试成绩变换成高考评估成绩赋值给y5，最后用公式4-4来计算高考预测成绩。以后以第五次考试类似的方法来进行高考成绩的预测。

对于语、数、英三门课程通过上述方法来预测，其他课程成绩进行从高到低的排序，同时对学校最近一年的高考成绩的相应的各门课程的等级进行统计得到各个等级的比例，由此得到各个学生的成绩等级，最近一次成绩等级作为高考预测成绩的等级。