小结课堂实录

高考专题

随机变量及其分布

一．考纲考情分析：

1.

理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。

2.

了解超几何分布，能进行简单应用

3.

了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复实验模型及二项分布，并能解决一些简单的问题。

4.

理解有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求离散型随机变量的均值、方差。能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单的问题。

5.

借助直观直方图认识正态分布曲线的特点，及曲线所表示的意义。

二．教学过程

（一）知识回顾

1.随机变量的概念

2．离散型随机变量的分布列

(1)概念

若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列。

(2)性质

①pi__________，i＝1,2,3，…，n；

②pi＝1。

i＝1n

（2）性质

3.随机变量分布列

（1）两点分布

（2）超几何分布

（3）二项分布

（二）高考题解析

例 2 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

【解】

(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 3－kCk4·C3P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

C37

所以，随机变量X的分布列为

X P 0

1

351

12

352

18

353 4

35随机变量X的数学期望

11218412E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

353535357②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X66＝1)＝.所以，事件A发生的概率为. 77

针对训练

(2018·武汉调研测试)甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩(单位：分)记录如下：

甲

86 77 92 72 78 84 乙

78 82 88 82 95 90 (1)用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)．

(2)若将频率视为概率，对运动员甲在今后3次测试中的成绩进行预测，记这3次测试的成绩高于85分的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)及方差D(X)．

针对训练

(2018·辽宁五校联考)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分

布直方图如下：

(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？

(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由．

(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．

解：(1)因为英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，

所以英语成绩特别优秀的概率

1P1＝P(X≥135)＝(1－0.96)×＝0.02，

2由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率

3P2＝0.001 6×20×＝0.024，

4所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02＝10(人)，

数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024＝12(人)．

(2)本次考试英语的平均成绩为100分，

数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72(分)，

因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．

(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人，ξ可取的值有0,1,2,3，所以

1C33C2271010C6P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，

C1614C16562C115C3110C66P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝，

C1656C1628故ξ的分布列为

ξ

0

3

141

27

562

15

563 1

28P

微考向2

二项分布

例 3 (2018·新课标全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

（三）学生小结

1.每一个分布的特点

2.二项分布的期望与方差公式

3.二项分布与超几何分布的区别与联系

三．课后反思

学生在学习的过程中，经常混淆二项分布与超几何分布，在复习过程中应该对比练习。