探究与发现 子集的个数有多少国家优质课一等奖

子集的个数有多少

重庆市鲁能巴蜀中学校

江大军

一、教学内容分析

本节课《子集的个数有多少》出自人教A版新课标选修2-3：第一章

计数原理

--> 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

--> 探究与发现，课程安排在两个计数原理之后，是两个计数原理在计数问题中的直接具体应用。

二、学情分析

本节课听课的学生已经学习过两个计数原理、排列组合、二项式定理、数列、数学归纳法，应该说，学生对高中数学的理解能力已经较强。教师在问题的处理上，应更加注重前后知识的联系，用已学的知识解决新的问题，并得到新的知识。

三、教学目标设置

1、知识与技能

（1）掌握“子集的个数有多少”。

（2）掌握“子集的个数有多少”的四种证明方法。

（3）能应用“子集的个数有多少”解决一些实际的计数问题。

2、过程与方法

（1）通过列举法，采用由特殊到一般的归纳推理思想，得出结论“子集的个数有多少”，再通过四种不同的思路，采用演绎推理严格证明结论。

（2）通过典型例题的讲解来加强学生对“子集的个数有多少”这个结论的应用。

3、情感态度与价值观

（1）四个不同的角度，四种不同的证明方法让学生的思维得以最大限度的发散，让学生充分体会一题多解。

（2）树立学生从具体到抽象，从特殊到一般的辩证唯物主义观点。

四、教学重难点

1、重点

“子集的个数有多少”的四种证明方法；“子集的个数有多少”这一结论及其推广结论的具体应用。

2、难点

四种证明方法的构思、出发点以及用到的关键性数学思想和方法；

“子集的个数有多少”

这一结论及其推广结论在实际问题中的灵活应用。

五、教学过程

1、开门见山，引出课题

元集合

的子集有多少个？

【设计意图】：这个问题对学生来说很突兀，一时可能摸不着头脑，但能引发学生的思考，快速地将学生的注意力引入课堂，启发学生开始从简单情形入手，着手分析问题。

2、新课讲授

（一）教师引导，得出证明方法一

当我们对一个问题感到棘手，不能立即得出一个一般性的结论时，我们不妨先采用列举法研究一下某些简单集合的子集个数，从中获得启发，由此归纳出一般性的结论，然后再证明。

当

时，

，子集为：

，

，共2个

当

时，

，子集为：

，

，

，

，共4个

当

时，

，子集为：

，

，

，

，

，

，

，

，共8个

我们不难发现

归纳猜想：

元集合

的子集一共有

个

【教师提问】：我们知道这个结论可以看成是关于正整数

的一个命题，那么我们不难想到，可以采用之前学过的哪种证明方法来证明？

【设计意图】：通过教师的引导，让学生联想到数学归纳法，从而得出证明方法一。

命题：设

元集合

的子集个数为

，证明：

证法一

下面采用数学归纳法证明：

（1）当

时，

，它的子集为

，

，共2个，所以

，等式成立.

（2）假设当

时，等式成立，即含

个元素的集合

的子集共有

个，那么当

时，即集合

.

事实上，

的子集可以分为两类：

第一类：不含元素

的子集

根据归纳假设，它有

个

第二类：含有元素

的子集

第二类子集可以由第一类子集添加元素

得到，它有

个

所以

这表明，当

时，等式也成立.

由（1）和（2）可知，原命题对一切

都成立.

【教师提问】：证法一用到的数学方法与思想有哪些？

（1）合情推理中的归纳推理

（2）数学归纳法

（3）分类思想

【设计意图】：让学生自己总结用到的数学思想方法，提升学生的数学抽象概括能力，让学生充分理解证法一的思想，特别是数学归纳法的应用。

（二）借助证法一中将子集分成两类的思想，得出证明方法二

证法二

我们把集合

中的

看成特殊元素，根据

的子集含与不含元素

，将

的子集分为两类：

（1）第一类：不含元素

的子集

有

个

（2）第二类：含有元素

的子集

有

个

所以

，

【教师提问】：如果我们把

看成一个数列，实际上，我们已经得到了一个什么数列？

【设计意图】：让学生概括出等比数列，从而运用等比数列的通项公式解决问题。

又

所以数列

是以

为首项，

为公比的等比数列

故

【教师提问】：证法二用到的数学方法与思想有哪些？

（1）分类思想

（2）将问题与数列联系起来，分析得出数列的递推公式

（3）等比数列

【设计意图】：让学生自己总结用到的数学思想方法，提升学生的数学抽象概括能力，让学

生充分理解证法二的思想，特别是数列思想的应用。

（三）【教师提问】：分别观察

1,2,3时，集合

的所有子集，重点观察子集所包含的元素个数，你还可以怎样将集合

的所有子集进行分类？

【设计意图】：让学生通过观察，发现还可以根据子集所包含的元素个数来对所有的子集进行一个划分，从而引出证明方法三

证法三

根据

的子集所包含的元素个数，将

元集合

的所有子集划分为：

0元子集 有

个

1元子集 有

个

2元子集 有

个

元子集

有

个

所以

【教师提问】：证法三用到的数学方法与思想有哪些？

（1）分类思想

（2）组合

（3）二项式系数的性质

【设计意图】：让学生自己总结用到的数学思想方法，提升学生的数学抽象概括能力，让学生充分理解证法三的思想，特别是划分思想、组合数、二项式系数的应用。

（四）【教师提问】：当

3时，集合

的子集可以用表格表示如下，重点观察每一个元素与各个子集的关系，你能发现什么规律？你认为可以怎样生成一个子集？你能用所学知识直接计算出集合

的子集个数吗？

元素

0

1

0

0

1

1

0

1

元素

0

0

1

0

1

0

1

1

元素

0

0

0

1

0

1

1

1

对应的子集

注：“0”

表示“不属于”

，“1”

表示“属于”

三元集合

的子集的个数一共有

8个

【设计意图】：让学生通过观察，发现集合

中的每一个元素

与各个子集间的关系只有两种：

属于或不属于子集，因此，我们可以分成

个步骤，通过依次考察

中的每一个元素属不属于某一个子集的方法来得到一个子集，从而启发学生采用分步乘法计数原理解决问题。

证法四

要得到集合

的一个子集

，可以分为

个步骤：

第1步：考察元素

是否在

中，有2种可能（

，

）

第2步：考察元素

是否在

中，有2种可能（

，

）

第

步：考察元素

是否在

中，有2种可能（

，

）

只要完成上述

个步骤，子集

中的元素就完全确定了，根据分步乘法计数原理

集合

的所有子集共有：

个

个2

【教师提问】：证法四用到的数学方法与思想有哪些？

（1）分成

个步骤来构造一个子集

（2）分步乘法计数原理

【设计意图】：让学生自己总结用到的数学思想方法，提升学生的数学抽象概括能力，让学生充分理解证法四的思想，特别是分步乘法计数原理的应用。

（五）结论推广

元集合

的子集有

个；真子集有

个；非空子集有

个；非空真子集有

个

（六）典型例题

例1：已知集合

（1）

的子集有______个，真子集有_______个

（2）满足

的集合

有_______个

（3）满足

的集合

有_______个

解析：

（1）128；127

（2）在

的每一个子集中，再加入元素1,2,3就是符合条件的集合

，所以集合

的个数等于集合

的子集个数，即

16

（3）在

的每一个子集中加入元素 就是符合条件的集合

，所以集合

的个数等于集合

的子集个数，即

8

【设计意图】：此题较基础，目的是让学生对本课所学结论进行初步应用。

例2：设集合

，选择

的两个非空子集

和

，若要使

中最小的数大于

中最大的数，则不同的选择方法有（

）

A.50种

B.49种

C.48种

D.47种

解析：

当

中最大的数为1时，此时，

，有1个；

为集合

的非空子集即可，有15个；所以不同的选择方法有

15种

当

中最大的数为2时，此时，将元素

添加到

的所有子集中就得集合

，有2个；

为集合

的非空子集即可；有7个，所以不同的选择方法有

14种

当

中最大的数为3时，此时，将元素3添加到

的所有子集中就得集合

，有4个；

为集合

的非空子集即可，有3个；所以不同的选择方法有

12种

当

中最大的数为4时，此时，将元素

添加到

的所有子集中就得集合

，有8个；

，有1个；所以不同的选择方法有

8种

综上所述，不同的选择方法共有

49种，故选B 【设计意图】：此题对能力要求较高，目的是让学生运用分类讨论思想将问题划分为四种情形，在每一种情形中运用本课所学结论进行计数。

例3：已知集合

，对于

，定义

为

中所有元素之和，求全体

的

总和

. 解析：

要求出全体

的总和

，只需要求出每一个元素出现的次数。

中某一个元素出现的次数就是集合

的含有该元素的子集个数。

元素1出现的次数等于

的子集个数，有

16次。

元素2出现的次数等于

的子集个数，有

16次。

元素5出现的次数等于

的子集个数，有

16次。

所以全体

的总和

=240。

【设计意图】：此题较难，学生需要运用创造性思维，将一个看似无规律的计数问题转化为结构清晰，层次分明，有规律的计数问题，从而让学生对本课所学结论进行创新应用。

六、课堂总结

本课通过四个不同的角度，四种不同的证明方法解决了问题：“子集的个数有多少”。证明过程对两个计数原理、排列组合、二项式定理、数列、数学归纳法、划分等思想方法的综合交叉应用是学生学习高中数学的重要借鉴。通过本课的学习，学生的思维得以最大限度的发散，让学生学会从多角度思考问题，充分体会一题多解。通过典型例题的讲解，使学生深刻体验到“子集的个数有多少”这一结论及其推广结论的广泛应用。