3.2.2 复数代数形式的乘除运算课堂实录及点评

选修1－2 第三章《数系的扩充与复数的引入》

§3.1 数系的扩充和复数的概念

【知识要点】



复数的有关概念——实数、虚数、纯虚数以及它们之间的关系．



复数的代数表示法z=a+bi (a，b∈R)．

(1) z=a+bi，若z是实数，则b=0；

(2) z=a+bi是虚数b≠0 (a，b∈R)；

(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0 (a，b∈R)z＋z＝0（z≠0）z20；



复数的几何意义，复数与点、向量之间的关系．

对于复数z=a+bi，z的模za2b2，可以用直角坐标系来表示z的位置，坐标为a,b．



复数相等的条件，a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d．

【例题精讲】

【例

1】（1）在下列结论中正确的是（

）

A．在复平面上，实轴上的点表示实数；虚轴上的点表示纯虚数．

B．任何两个复数都不能比较大小．

C．如果令实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应．

D．满足z2=－1的复数z只有i．

（2）(3x+2y)+(5x－y)i=17－2i

，求x，y的值．

【例

2】对应的点在虚轴上，则（

）

A．a≠2或a≠1

B．a≠2且a≠1

C．a=2或a=0

D．a=0 第

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【例

3】平行四边形OABC，OA对应的复数为1+2i，OB对应的复数为－1+3i，则OC对应的复数为（

）

A．5i

B．－5i

C．－2 + i

D．2－i

【例

4】已知复数z满足，则复数z对应点的轨迹是（

）

A．1 个圆

B．线段

C．2 个点

D．2 个圆

【基础达标】

1．以3i2的虚部为实部，以3i+2i的实部为虚部的复数是（

）

A．3－3i

B．3+i

C．2+2i

D．2+2i

2．设全集I=｛复数｝，R=｛实数｝，M=｛纯虚数｝，则（

）

A．M2RI

B．CIMRI

C．CIMRR

D．MCIR

3．若a、b、c∈C，则(a－b)2+(b－c)2=0 是a=b=c的（

）

A．充要条件

B．充分但不必要条件

C．必要但不充分条件

D．既不充分也不必要条件4．向量OZ(3，6)对应的复数是（

）

A．3 + 6i

B．6 + 3i

C．3 + 3i

D．6 + 6i

5．若复数表示的点在虚轴上，则实数m的值为（

）

A．－1

B．4

C．－1和4

D．－1和6

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6．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1+2i=y

，则x=

，y=

．

7．设复数z=a+bi对应的点在虚轴的右侧，则a，b满足的条件

．

1～5

ACCAC

6．1，2i

7．a > 0，b∈R

2【能力提高】

8．已知，求x的值．

9．求若为纯虚数，求实数m的值．

10．已知向量OZ与实轴正向的夹角为45°，向量OZ对应的复数z的模为1，求z．

§3.2

复数代数形式的四则运算

【知识要点】



复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义．

设z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)，则：

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(1) z1±z2 = (a + b)± (c + d)i；

(2) z1 * z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(ad+bc)i；

(3) z1÷z2 =(abi)(cdi)acbdbcadi(z2≠0)．

(cdi)(cdi)c2d2c2d2

i幂的有关性质，i

2=－1．

(1)zmznzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1mz2m(m,nN)



共轭复数的概念，两个复数的实部相等，虚部互为相反数．

共轭的性质：⑴(z1z2)z1z2；

⑵z1z2z1z2；

⑶(⑷zz；

⑸z1zz1zz1z)1；

z2z21．

z模的性质：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；

⑵|z1z2||z1||z2|；

⑶|z1|z1|nn；

⑷|z||z|．

|z2|z2|【例题精讲】

【例

1】计算．

【例

2】计算．

【例

3】若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是

．

第

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13 页

【例

4】已知：复数（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零?

，当m取什么实数时，z是

【基础达标】

1．(a+bi)(a－bi)(－a+bi)(－a－bi)等于（

）

A．(a2 +b2)2

B．(a2－b2)2

C．a2 +b2

D．a2－b2

2．设复数z=1+2i，则z2－2z的值为（

）

A．－3

B．3

C．－3i

D．3i

1+i3．1i2008=（

）

A．1

B．i

C．－1

D．－i

4．已知复数z满足z =－|z|，则z的实部（

）

A．不小于0

B．不大于0

C．大于0

D．小于0

5．两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是实数且z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一直第

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线上的充要条件是（

）

A．b1b2bb1

B．a1a2b1b20

C．1=2

D．a1b2=a2b1

a1a2a1a226．=

，1i=

，1i1+i1i=

，=

．

1i1i7．已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1z2是实数，则实数t等于___________．

1～5

AAABD

6．－i，

±2i，

i，

－i

7．3

4【能力提高】

8．已知a0，zai3，复数uzzi的虚部减去它的实部所得的差等于，求实数a的值．

1i2

9．求复数Z，使Z4为实数，且Z22．

Z

10．若复数2+3i是实系数方程ax2+bx+1=0的一根，求实数a、b的值．

第三章

数系的扩充与复数的引入

复习

【例题精讲】

【例

1】已知M={1，(m2－2m)+(m2+m－2)i }，P={－1，1，4i }，若MP=P，求实数m的值．

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【例

2】已知z是复数，z+2i、实数a的取值范围．

z均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求2i

【例

3】已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，－2+i，－1－2i，求第四个顶点所对应的复数．

【例

4】已知方程x2+4x+a=0aR的一个根为x1=－2+i，求a的值和方程的另一个根．

【基础达标】

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1．A．的值是（

）

434i

B．i

C．i

D．－i

5552．若a为实数，2+ai2i，则a等于（

）

12i

A．2

B．2

C．22

D．22

3．若复数Z满足，则Z等于（

）

A．－3+4i

B．－3－4i

C．3－4i

D．3+4i

4．设，则（

）

A．－4－4i

B．4+4i

C．4－4i

D．－4+4i

5．在△ABC中，AB，AC对应的复数分别为－1+2i，－2－3i，则BC对应的复数为

．

6．n是奇数，则

．

1～4 CBDC

5．－1－5i

6．－2 【能力提高】

7．已知复数，若，求实数a，b的值．

8．把复数z的共轭复数记为z，若(1+2i)z=4+3i，求z及z．

z

9．已知关于x的实系数方程x2－2ax+a2－4a+4=0的两根分别为x1，x2，且，求a的值．

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《数系的扩充与复数的引入》单元复习题

一、选择题．

1．i(1－i)2等于（

）

A．2－2i

B．2+2i

C．－2

D．2

2．若A．，x，y∈R．则43

B．34y（

）

x34

C．

D．

433．（

）

A．1

B．0

C．－1

D．i

4．下列命题中正确的是（

）

A．任意两复数均不能比较大小

B．复数z是实数的充要条件是z=z

C．复数z是纯虚数的充要条件是z+z=0

D．i+1的共轭复数是i－1

5．已知z=x＋yi (x，y∈R)，且，则z=（

）

A．2＋i

B．1＋2i

C．2＋i或1＋2i

D．无解

6．使不等式成立的实数m=（

）

A．1

B．0

C．3

D．复数无法比较大小

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7．设，则集合中元素的个数是（

）

A．1

B．2

C．3

D．无穷多个

8．若1+ i是方程x2+bx+c=0的一个根，则方程的另一根为（

）

A．1－i

B．－1+i

C．－1－i

D．与b、c的值有关

9．复数z1=a＋2i，z2=－2＋i，如果z1z2，则实数a的取值范围是（

）

A．－1a1

B．a1

C．a0

D．a－1或a1

10．设复数，则满足等式的复数z对应的点的轨迹是（

）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

二、填空题．

11．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求

x=

，y=

．

12．i＋i 2＋i 3+……+i 2009=

．

13．设ABCD在复平面内，A为原点，B、D两点对应的复数分别为3+2i和2－4i，则点C对应的复数为

．

14．已知z是复数，i是虚数单位，且1+z1izi，则z=

．

1i第

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三、解答题．

15．已知复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的取值范围．

16．当m为何实数时，复数（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

分别是：

17．已知z1=1－2i，z2=3+4i，求满足111的复数z．

zz1z2

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18．已知关于x的方程（1）求实数a、b的值；（2）若复数z满足有实数根b．

，求| z |的最小值．

19．求同时满足下列条件的所有复数z：

(1)z10是实数，且z；

(2)z的实部和虚部都是整数．

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20．已知：A、B是△ABC的两个内角，直的单位矢量．若m，其中为相互垂32，试求tanA∙tanB的值．

4

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