1.3 二项式定理（通用）教案设计（一等奖）

第三课时：二项式定理延伸

学习目的：本节课主要学习三项式展开问题，学会用三项展开式知识，解决相关问题. 一. 二项式定理回顾

ab1.n0n1n1CnaCnabrrnrrCnabnnCnbnN*

2.二项式系数：Cn (r0,1,2,3,r,n)．

nr3.二项展开式的通项公式：Tr1Cna4．CnCnCn024br. 2n1.

135CnCnCn二.定理探究

二项式定理较完整的解决了二项展开式的问题,那么,利用二项式定理能否解决三项展开式问题？三项式定理又是什么？为此我们先给出三项式定理.

1.

探究项

n在(a+b+c)是n个(a+b+c)相乘,每个(a+b+c)在相乘时有三种选择:选a,或b,或c,而且每个(a+b+c)中的a,或b,或c都选定后,才能得到展开式中的一项,因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,(a+b+c)的展开式共有3项,其中每一项都是a1b2c3(其中r1,r2,r3∈N,且r1+r2+r3=n)的形式; 2.

探究系数

对于某一项a1b2c3是由r1个(a+b+c)中选a,由r2个(a+b+c)中选b得到的,因此,a1b2c3出现的次数相当于从n个(a+b+c)中选r1个,再从余下的n-r1个(a+b+c)中选r2个的组合数Cn1Cn2r1=rrnnrrrrrrrrrn！(nr2)！n!n!rrr=,即合并同类项后,项a1b2c3的系数：

r1！(n-r1)！r2！(n-r1r2)！r1!r2！r3!r1!r2！r3!n!akbkck.其中r1,r2,r3∈N,且r1+r2+r3=n. r1!r2！r3!1233.通项公式：T(r1,r2,r3)=三.三项展开式的排序规律

n经探究

, (a+b+c)展开式的右端诸项可以按照字典排列法有序地摆放成一结构对称的等边三角

(

形

.下面从幂指数

n 取 1 ,

2 ,

3 ,

4 的简单情形来发

现展开式的排序规律

为了清晰直观

,

特将每一项

与其对应系数分离书写）：

(

以下潜在的相应关系

以

n = 4 为例说明)

四.三项展开式的应用

例1.(x+例2.

例3.

例4.

求(x3213-2)的展开式中的常数项为 . x215(x++2)的展开式的常数项为 . x1102在(1x2015)的展开式中，x项的系数为： . x3152)展开式的常数项. xxn课堂小结：三项式(a+b+c)的展开式问题的基本思路有:①转化为二项式展开式问题;②直接利用三项式定理. 五.课堂练习

1.(x+214x2+1)的展开式中常数项为 (用数字作答). n62.若(x+1-2)的展开式中常数项为-20,则自然数n= . x3.(x+1+2x2)的展开式中整理后的常数项为 . 754.展开式(1+x+1)的常数项是 . x5.(x+x-1)的展开式中的常数项是 (用具体数字作答). 26x6.x∈R,则(x+1-+31x4)展开式中常数项为( ) 9(A)-1259 (B)-1260 (C)-1511 (D)-1512 257.在(x+3x+2)的展开式中,含x项的系数是 . n8.(1+ax+by)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的只可能为( ) (A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6 (C)a=-1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5

详解: 1.解:(法一)由(x+(法二)由(x+2214x2+1)=(x+6612x)的通项Tk+1=()C12x6!k1!k2！k3!21212kk12-2k为常数k=6常数项=()C12=(14x21266231. 1614x2+1)的通项T(k1,k2,k3)=(x)k1)k2=6!k1!k2！k3!(14)k2x2k-2k12;令2k1-2k2=02k1+k3=6 (k1,k2,k3)=(3,3,0),(2,2,2),(1,1,4),(0,0,6)=6!1(3!3！0!4常数项)+36!1(2!2！2!41xn)+x26!1(1!1！4!4)+16!1(0!0！6!4)=0231. 16kk2.解:由(x+nn-2)=(-1x)的通项Tk+1=(-1)C2n(2nx)2n-2k为常数2n-2k=0k=n常数项=(-1)C2n=-20n=3. 3.解:(法一)由(++x21x2)=(5x2+1x)的通项Tk+1=(1012)10-kC10(x)k10-2k常数项=(12)C10=635522.

(法二)由(x2+1x+2)的通项T(k1,k2,k3)=55!k1!k2！k3!(12)k1(2)k3xk1-k2;则k1=k2,2k1+k3=5(k1,k2,k3)=(2,2,1),(1, 1,3),(0,0,5)常数项=4.k5!(12!2！1!2)(22)+)5!(11!1！3!2)(2)+35!0!0！5!(2)=63522. 的0解k:(ktk-2t法一由(1+x+1x)7通项Tk+1=C7(x+1)=C7Ckxx214263k-2t=0(k,t)=(0,0),(2,1),(4,2),(6,3)常数项=C71xC0+ xk2-0C7C2+C7C4+C7C6=393. (法二)由(1+x+k2=k3,k1+2k2=7(k1,k2,k3)=(1,3,3), (3,2,2),(5,1,1),(7,0,0)常数项=5.解:由T(k1,k2,k3)=7!1!3！3!)的通项T(k1,k2,k3)=77!k1!k2！k3!k3;则+7!3!2！2!+7!7!+=393. 5!1！1!7!0！0!k36!k1!k2！k3!(-1)x2k1+k2-k3;则2k1+k2-k3=0,k1+k2+k3=63k1+2k2=6(k1,k2,k3)=(0,3,3),(2,0,4) 常数项=-6!6!+=-5. 0!3！3!2!0！4!k36.解:由Tk+1=C9(x-1x4)=(-1)C9Ckxktkt3k-7t3k-7t=0(k,t)=(0,0),(7,3)常数项1+(-1)C9C7=-1259.373故选(A). 7.解:含x项的系数=240. nn8.解:由(1+b)=243,(1+a)=32a=1,b=2,n=5.故选(D).