一 比较法优质课一等奖

第二讲 证明不等式的基本方法—比较法

甘肃省临洮中学 数学教研组 陈 康 一．教学目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二．教学的重难点

（一）教学重点

不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的

（二）教学难点

借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途

三.教学方法

探究启发，讲练结合

四.教学设计

前面我们已经学习了不等式基本性质．今天我们要以这些性质作为依据研究不等式

证明．

（一）引入比较法证明不等式，理解、认识比较法

作差法证明不等式的依据是什么呢？

生：依据是a-b＞0

a＞b，所以要证a＞b，只要证a-b＞0．

师：这种证明的理论依据是a-b＞0

a＞b，由a-b＞0来推a＞b是证明不等式常用方种中的一种，叫比较法，这种比较法不妨称作求差比较法．

（板书）2．不等式证明的基本方法（1）比较法（作差比较法）

(二)、典型例题：

例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 师：这道题含义是什么？

生：对于a，b属于任意正实数，不等式都成立．

师：请同学们考虑如何用比较法证明．

（学生口述，教师板书）

证明：采用差值比较法：

(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)ab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2 （因式分解）

正确判断a，b∈R+范围内每个因式符号例3.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为a.bam.bm若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.解：可以把上述事实抽象成如下不等式问题：已知a,b,m都是正数，并且ab,则下面给出证明.将不等式两边相减，得ab,ba0;又amam(ba)(通分)bmbb(bm)amabmba,b,m都是正数，所以m(ba)0,b(bm)0m(ba)ama0即0b(bm)bmbamabmb

2.作商比较法的原理和步骤：

a,bRa1baab1baab1b

作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

ababba例3、已知a,bR,求证：abab. 证明：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0

差值比较法失效采用商值比较法：

a1,ab0,

baabbabaaabb(ab)()ababb aab当ab时（）1baaab当ab0时，1,ab0,（）1bbaaab当ba0时，0<1,ab0,（）1bbaabbabba

故原不等式得证. (三)、课堂练习：

1. 求证：

a23b22b(ab). 2.若a，b∈R，试比较a2＋b2与2(a－b－1)的大小．

3.设a0,b0,求证：ab(ab)abab2

五、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要

的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例4、5最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易. 六、布置作业：

课本23页第1、2、3题。

（要求：按照课堂上老师演示做题的形式和格式，解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据)

七．板书设计 作差法依据

作商法依据

比较法证明不等式：

（见上面）

（见上面）

作差、作商的基本步骤

作差变形的方法：

结果大多数化成指数函（见上面）

{因式分解法、通分法、数的形式，用指数函数的配方法} 性质与单调性，比较最终最终比较差与0的大小关结果与1的大小关系

系

八．后记

情境创设调动了学生学习的积极性，课堂比较活跃，也鼓舞了我的教学热情，树立了信心，同学们多种多样的思维方式和做题方法也拓宽了我的思路，了解到一部分同学对这类知识理解和掌握的局限性，促使我将知识讲得更加清晰明澈，以便帮助同学们对所学知识理解更到位，我们师生相互学习共同进步。