2.基本不等式公开课教案

选修4-5 基本不等式教学设计

四川省南部中学易文

一、教学目标

（一）核心素养

通过学习重要不等式a2b22ab推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

（二）学习目标

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题. （三）学习重点

均值不等式定理的证明及应用. （四）学习难点

等号成立的条件及解题中的转化技巧. 二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：

①a2b2 2ab，当且仅当 时，等号成立，其中a,b ；

②ab ab，当且仅当 时，等号成立，其中a,b ；

2（2）想一想：（1）中两个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？

2．预习自测

（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. A．大于

B．小于

C．不大于

D．不小于

（2）若xy6，则xy的最大值为（ ）

A．6

B．7

C．8

D．9

（3）函数ysinxA．22

2,x(0,]的最小值为（ ）

sinx2

C．4

D．5

B．3

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）比较两个实数的大小可用作差比较法. （2）abab0;abab0;abab0

（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负. 2．问题探究

探究一 认识基本不等式

●活动① 重要不等式

定理1 如果a,bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.

1

证明：由作差比较法得，(ab)2ab(ab)0，且当且仅当ab时，等式成立. 几何解释：

222

如果把实数a,b作为线段长度，那么可以这样ab解释定理1（以为例）

如图，在正方形ABCD中，ABa；在正方形CEFG中，EFb.那么S正方形ABCDS正方形CEFGab. 矩形BCGH,JCDI的长均为a，宽均为b，它们面积之和为S矩形BCGHS正方形JCDI2ab

以上两个矩形的公共部分为以边长为b的正方形，其面积为b2，所以上述两个矩形面积之和2ab就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，

即a2b22ab，当且仅当ab时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即a2b22ab. 【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．

●活动② 基本不等式

将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：

22abab，当且仅当ab时，等号成立. 2ab证明：因为ab(a)2(b)22ab2ab，所以ab，当且仅当ab，即ab2定理2（基本不等式） 如果a,b0，那么时，等号成立. 几何解释：

如图，CD是RtABC中斜边AB上的高，OC是斜边AB上的中线，ADa,BDb.于是，

2

11OCCD，得CD2ADBD，即CDab，易知，AB(ab).由RtDCA∽RtDCB，22ab且当且仅当O,D重合时OCCD，所以ab，当且仅当ab时，等号成立. 2OC综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. 如果a,b都是正数，我们就称ab为a,b的算术平均数，ab为a,b的几何平均数.于是，基本不等式可2以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数. 【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．

●活动③ 了解基本不等式的使用步骤

基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：

“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；

“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；

“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值. (ab)2ab由基本不等式：

ab，得ab2ab,ab42（1）当积为定值时，和有最小值，为2ab；

(ab)2（2）当和为定值时，积有最大值，为. 4【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法. 探究二 均值不等式的应用

●活动①

利用基本不等式求最值

例1 求函数y2x1(x0)的最小值. x解：y2x1121122x22，当且仅当2x，即x时取等号，所以函数y2x(x0)xx2xx的最小值为22. 1(x0)的最大值. 【答案】22

x1同类训练 求函数y2x(x1)的最小值. 【答案】3 x1例2 求函数y4x(x1)的最小值. x11113法1：（配凑法）y4x，即x4(x1)42448，当且仅当4(x1)x1x1x12同类训练 求函数y2x时取等号. 法2：（换元法）令x1t(t0)，则y4(t1)4t42448，当且仅当4t，即1t1t1t

3

13t,x时取等号. 224x24x9同类训练 求函数y(x1)的最小值. 【答案】8 x1同类训练 求函数yx25x24的最小值. 【答案】5

2●活动②

求含双变量的代数式的最值

例3 若2x3y6(x0,y0)，求以下代数式的最值: ①xy的最大值；②21的最小值

x3y33,当且仅当2x3y3，即x,y1时取等号；②22解：①2x3y626xy，所以xy2121112x6y132x6y2，即x2,y()(2x3y)(5)(524),当且仅当3x3yx3y663yx623yx时取等号. 211，求m2n的最小值. 【答案】16 mn23例4 已知x24y2xy(x0,y0)，求x2y的最大值. 3233解：由x24y2xy，得(x2y)25xy，

3232355x2y2331所以(x2y)2，所以x2y，当且仅当x2y()，即(x2y)232222832211x,y时取等号. 48同类训练 已知m,nR,同类训练 已知x0,y0,x2y2xy8，求x2y的最小值. 【答案】4 （三）课后作业

小试牛刀 自主突破

1．下列各式中，最小值等于2的是( ) x25xy1A. B.C． tan 2tanyxx42．设x,yR且xy5，则3x3y的最小值是( ) D．22 【答案】D xxA．10 B．63 C．46 D．183 【答案】D. 3．设x,y为正数，则(xy)(1x4)的最小值为( ) yA．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B

4

4．若直线xy1(a0,b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于(

) ab1的最大值是________． 【答案】323

xA．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 5．设x0，则函数y33x6．已知不等式(xy)(1xa)9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为(

) yA．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 7.若不等式x2ax40对一切x(0,1]恒成立，则a的取值范围为（ ）

A.[0,) B.[4,) C.[5,) D.[4,4] 【答案】D 8.直线2axby20(a,bR)平分圆x2y22x4y60，则21的最小值是（ ）

abA.1

B.5 C.42

D.3+22 【答案】D 9.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2018年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)若计划2018年生产的化妆品正好能销售完，试将2018年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2018年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

t298t35【答案】（1）y(t0)；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大. 2(t1)

5