1.3 二项式定理（通用）教学实录及点评

1.5.1 二项式定理（1）

一、教学目标 1．使学生掌握二项式定理的形式和本质，熟悉二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题；

2．通过二项式定理的“发现”和证明，培养学生观察、分析、归纳、猜想、演绎、推理的能力和创新精神．

二、教学重点

二项式定理的发现和二项式定理的展开式及其通项公式．

三、教学难点

二项式定理的证明

四、教学过程

1.(1)今天是星期二，那么7天后的这一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？

(3)如果是

天后的这一天呢？如何解决？

2.

思考: (ab)2a22abb2

(ab)3a33a2b3ab2b3，

(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4 (ab)？(ab)?展开后的结果，它们的各项由这些式子试猜想 100n是什么呢？

这里有规律吗？

3．师生活动：分析上述思考．以 （

）

展开式进行分析，看看每一项是怎么来的．

因为

，展开时，每个括号中要么取a，要么取b，而且只能取一个来相乘得项，所以展开后其项的形式有：

，最后结果要合并同类项．所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数．可计算如下：

因为每个都不取b的情况有1种，即

，所以

的系数为

；

因为恰有1个取b的情况有

种，所以 的系数为

；

因为恰有2个取b的情况有

种，所以b2的系数为

；

故．(ab)2a22abb2

22234(ab)a2abb(ab)(ab)仿照的得出过程，你能写出及的展开n(ab)式吗？呢？

4.

归纳定理：

①二项展开式定理：

一般地，对于n∈N*，有：

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb（n∈N*）．

这个公式就叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做rnrr(ab)n的二项展开式，它一共有n + 1项，其中Cnab叫做二项展开式的第r + 1项（也称通项），用Tr1表示，即

rnrrTr1Cnab．

r Cn(r = 0，1，…，n)叫做第r + 1项的二项式系数．

②二项展开式的特点：

项数：项数有n + 1项；

指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a，b的指数和为n；

r 系数：第r + 1项的二项式系数为Cn(r = 0，1，…，n)．

b a b a a 5．数学运用

例1：展开（1+2x)5

(1)

第4项的二项式系数是多少? (2)

第4项的系数是多少?

18例2：已知

(xx)

问1:展开式第4项是什么? 问2:求展开式中的x4项

问3:求展开式中的常数项

5.

解惑

今天是星期二,问再过8100天是星期几? 8100（71）100C0100199r100r1007C1007C1007

C9911001007C100

（7C099991007C100）

余数是1，所以是周三。

6．课堂小结

本节课我们主要给大家展示了二项式定理的发现、证明过程．并初步了解了二项式定理中的注意点及其简单的应用．