2.基本不等式教学实录

基本不等式

适用学科

适用区域

数学

全国

适用年级

高三

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1．应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．

2．应用基本不等式解决实际问题．

教学目标

1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．

2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．

教学重点

教学难点

突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．

训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．

学习过程

一、复习预习

(1)倒数性质：

11①a＞b，ab＞0?＜；

ab11②a＜0＜b?＜；

ab③a＞b＞0,0＜c＜d?＞；

111④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜. abcdbxa(2)若a＞b＞0，m＞0，则

①真分数的性质：

bb＋mbb－m＜；＞(b－m＞0)；

aa＋maa－m②假分数的性质：

aa＋maa－m＞；＜(b－m＞0)．

bb＋mbb－m

二、知识讲解

1．基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号)；

(3)ab≤(4)22baaba＋b2(a，b∈R)；

2≥a2＋b2a＋b22(a，b∈R)．

2a＋b23．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4p2三、例题精析

】例

1求证: (1)在所有周长相同的矩形中,正

方形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短

2x2(x3)的最小值. 例2．(1)求函数yx3【．

3(2)已知0x,求函数yx(32x)的最大值. 练习

2

x25x151.求函数y(x0)的最小值x22.若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时

1

有最小值，最小值为几？

xx1

1. 练3、求函数yx的值域.x四当堂检测

11、求函数y=x的最小值(x3)；x-3

x282、求函数y=的值域.x1

43、求证a7(其中a3)a3

五课程小结

1．基本不等式：ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

ba(2)＋≥2(a，b同号)；

ab(3)ab≤a＋b2(a，b∈R)；

2a2＋b2a＋b(4)≥2(a，b∈R)．

223．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两2个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4

课后作业

【基础】

1【题干】函数y＝x＋(x＞0)的值域为(

)．

xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) 【答案】C 1【解析】∵x＞0，∴y＝x＋≥2，

x当且仅当x＝1时取等号．

【巩固】

【题干】若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(

)．

1A. B．1 C．2 D．4 2【答案】

A 【解析】∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，

1∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤. 2【拔高】

t2－4t＋1【题干】已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．

t【答案】－2

t2－4t＋11【解析】∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．

tt

B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)