2.基本不等式课堂实录及点评

普通高中课程标准实验教科书

人教A版选修4-5

三角形中基本不等式的应用

慈利县第一中学 朱田晟骜

一、教学目标

知识与技能：

熟练掌握三角变换的技巧；理解基本不等式的概念及适用条件；初步掌过程与方法：

培养学生观察、归纳、类比的能力；掌握构造不等关系来解题方法；进一步函数思想和转化与化归的思想。

情感态度和价值观：在探究的过程中培养学生发现问题、探究问题、解决问题的能力；在解题的过程中中体验数学中的转化思想的意义和价值；

渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。 握三角形中基本不等式的简单应用。

二、教学重难点

重点：通过三角变换，借助基本不等式，构造不等关系。

难点：构造不等式时配凑、消元的技巧。

三、教法学法

以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台。

四、教学过程

教学环节与教学内容

一、知识复习

(1) 内角和公式：ABC.

222(2) 勾股定理：在RtABC中，c为斜边，则abc.

abc

2R. (3) 正弦定理：sinAsinBsinC

222

(4) 余弦定理：bca2bccosA.

111(5) 面积公式：SabsinCacsinBbcsinA.

222

(6) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

(7) 大边对大角，大角对大边.

2.基本不等式

22(1) 重要不等式：ab2ab(a,bR)

当且仅当ab时，

等式成立.

abab(a,b0)

当且仅当ab时，

(2) 基本不等式：2

等式成立.

1.解三角形

备注

ab2)，(3) 常用变形：ab2ab，ab(22(a2b2)(ab)2

问题1：三角形是我们生活中很常见的一个图形。我们知道，在所有的多边形中，三角形是最稳固的，因为当三条边定了，它的形状就无法再改变了。那我们回顾一下，除了三边，还有哪些条件可以确定一个三角形？

问题2：如果只固定一个角，和这个角的对边长度，这个三角形能确定吗？

问题3：有哪些量在变？能不能随意变？

（几何画板展示）

小结：从演示中能发现，它们是在某一个范围内变化的，a大于0小于等于某一个数。这就出现了不等关系。

中学数学从等量关系走向不等关系，有一条重要的纽带——不等式。

这节课我们就抓住这个纽带，一起来探究三角形中的不等问题。

二、新课教学

探究1：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

展示：几何画板，模型展示。

学生操作：三支笔，两支长的固定一个角，第三支的两个端点在角的两边上移动。

A3，a1.

（师生共同探究，教师完整板书。）

（注意取等的条件。）

设计目的：掌握构造不等式解题的方法。

（请学生回答思路，教师完整板书。）

(1)求△ABC的面积S的最大值. 条件：A31目标：SbcsinA，求(bc)max

2解：由A,a1

b2c2a22bccosA

3,a1有：b2c212bccosAbc

22由重要不等式有：bcbc12bc1

bc1，当且仅当bc1时，等号成立

13

Smax1sin234

小结：认准目标，通过三角变换，借助基本不等式，构造与目标有关的不等关系.

(2)求△ABC的周长l的最大值.

目标：labc，求(bc)max

解：由A3,a1有：bc12bccosAbc

22(bc)213bc

bc22)

由基本不等式有：(bc)13bc3(22

设计目的：在(1)的基础上进行加深，引导学生根据所求问题进行合理的配凑。

(bc)4，当且仅当bc1时，等号成立

bca1，1bc2

lmax123

小结：结合“目标”进行配凑.

思考：如果是一个选择填空题，有没有什么简便方法解决呢？

（从图形、极值、连1、两边的变化是对称的；

续的角度合情推理。）

2、由三角形两边之和大于第三边，变化的开始两边之和应该是增大的。

猜想：在恰好对称时，周长最大。此时为等边△，周长为3.

走进高考

(2014年全国卷Ⅰ卷

第16题)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a2，且

（由一般到特殊的思想，2=a的代换）

设计目的：

1、解题时善于寻找重要条件，搭建阶梯；

2、对所学内容的进一步巩固；

3、情感教育：高考题源于课本的练习，是练习的升华。

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为

.

解：由正弦定理得：(2b)(ab)(cb)c

a2，(ab)(ab)(cb)c

整理得：bcabc2bccosA

222cosA1，又0A，A

23bcb2c2a2b2c242bc4

bc4，当且仅当bc2时，等号成立

1Smax4sin3

22

探究2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A3

，周长为3. 求△ABC的面积S的最大值. 条件：abc3，bca2bccosA

222

222思路一：消元，a3(bc)，代入bca2bccosA

思路二：ab2c2bc，代入abc3

设计目的：

1目标：SbcsinA，求(bc)max

2解：由A3有：bca2bccosAbc

2221、提出“消元”的思想；

2、对所学内容的进一步巩固；

3、情感教育：提倡一题多解，举一反三。

（多次运用基本不等式时，注意取等条件。）

由ABC周长为3有：abc3

方法一：a3(bc)

b2c23(bc)bc

整理得：bc2(bc)34bc3，

2bc4bc30，解得0bc1或bc9

bc239)()2，0bc1

又bc(224

当且仅当bc1时，等号成立

13

Smax1sin234

方法二：

ab2c2bc

bcb2c2bc3

由bc2bc，bc2bc

223bcb2c2bc2bc2bcbc

0bc1，当且仅当bc1时，等号成立

13

Smax1sin234

小结：用“消元法”消去无关参数.

三、课堂总结

1、数学知识：

三角形中的三角函数

2、数学工具：

三角变换、基本不等式

3、数学方法：

构造法、消元法

4、数学思想：

转化与化归的思想

从知识、工具、方法、思想四个角度进行总结。

四、课后探究

在探究1中增加一个限制条件——锐角：

发现基本不等式解题的局限性

在锐角ABC中，A，a1，能用基本不等式求出周长

3l的取值范围吗？若能，请求出；若不能，你能找到别的求解方法吗？

引导：边角关系有余弦定理和正弦定理，



五、课后练习

1.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式其中p为三角形周长的一半，这Sp(pa)(pb)(pc)求得，个公式也被称为海伦公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为(

) A.45

B.85

C. 415

D. 815

2.(1)已知a、b、c是∆ABC的三边，a、b、c成等比数列，且a+b+c=1，求b边的取值范围. (2)已知a、b、c是Rt∆ABC的三边，其中c为斜边，且a+b+c=4，求c边的取值范围.

3.已知角A、B、C是∆ABC的三个内角，a、b、c是角A、B、C所对的边，向量m1,sinAsinB，

且mn. ncos(AB),8，(1)求tanAtanB的值；

(2)求

4.(2015年山东卷

第16题)设f(x)sinxcosxcos(x(1)求f(x)的单调区间；

(2)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若f()0，2尝试用正弦定理构造关系。

absinC的最大值. a2b2c24). A2a1，求△ABC面积的最大值.

5.(2014年浙江卷

第18题)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinAsinCpsinB(pR)且ac(1)当p12b. 45,b1时，求a、c的值；

4

(2)若角B为锐角，求p的取值范围.