一 数学归纳法特级教师教学实录

一．新授课：

1．数学归纳法的定义

数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当n＝n0时命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学

归纳法．

2．数学归纳法的适用范围

适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题．

3．数学归纳法的步骤

(1)(归纳奠基)验证当n＝n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，推导n＝k＋1时命题也成立．

(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0的自然数都成立．

二．题型探究：

探究一：用数学归纳法证明等式

例1.用数学归纳法证明：n∈N＋时，111n＋＋…＋＝. 1×33×5（2n－1）（2n＋1）2n＋1111[证明]

①当n＝1时，左边＝，右边＝＝，左边＝右边，∴等式成立．

1×32×1＋13111k②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即有＋＋…＋＝，则

1×33×5（2k－1）（2k＋1）2k＋1当n＝k＋1时，

1111＋＋…＋＋

1×33×5（2k－1）（2k＋1）（2k＋1）（2k＋3）k（2k＋3）＋1k1＋＝

2k＋1（2k＋1）（2k＋3）（2k＋1）（2k＋3）＝2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝.∴n＝k＋1时，等式也成立．

（2k＋1）（2k＋3）2k＋32（k＋1）＋1由①②可知，对一切n∈N＋等式都成立．

方法归纳：

1．运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系．

2．为了完成第一步，首先要分清等式的两边各有多少项，哪一边的项数随n的变化而变化及其变化规律，其次要确定n0的值，并准确表述n＝n0时等式的具体形式，然后通过计算左右两边的值，证明等式对n＝n0时成立．

3．要准确把握由n＝k到n＝k＋1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，然后应用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式．

跟踪训练：

1

111111111．(1)用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)，则从n＝k到n＝k2342n2n－12nn＋1n＋2＋1时，左边所要添加的项是(

) A．111111

B．－

C．－

D．－

2k＋12k＋22k＋42k＋12k＋12k＋211111解析：选D．∵当n＝k时，左边＝1－＋－＋…＋－，

2342k－12k1111111当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－，

2342k－12k2k＋12k＋211∴由n＝k到n＝k＋1左边增加了－.

2k＋12k＋2111111(2)用数学归纳法证明：＋＋…＋＝＋＋…＋(n∈N＋)．

1×23×4（2n－1）×2nn＋1n＋2n＋n证明：①当n＝1时，左边＝111＝，右边＝，等式成立．

21×22111111＋＋…＋＝＋＋…＋，

2k1×23×4（2k－1）×2kk＋1k＋2②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1111则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋

1×23×4（2k－1）×2k（2k＋1）（2k＋2）＝＝＝＝1111＋＋…＋＋

2k（2k＋1）（2k＋2）k＋1k＋2111111＋＋…＋＋2k＋1－2k＋2＋2kk＋1

k＋2k＋311111＋＋…＋＋＋

2k2k＋12k＋2k＋2k＋31111＋＋…＋＋，

（k＋1）＋1（k＋1）＋2（k＋1）＋k（k＋1）＋（k＋1）即当n＝k＋1时，等式成立．

根据①②可知，对一切n∈N＋等式都成立．

探究二.用数学归纳法证明整除性

例2.用数学归纳法证明(x＋1)n1＋(x＋2)2n1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除．

＋－[证明]

①当n＝1时，(x＋1)11＋(x＋2)2＋×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命题成立．

＋－1②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(x＋1)k1＋(x＋2)2k(x＋1)(k＋1)＋1能被x2＋3x＋3整除，那么

－＋(x＋2)2(k＋＋1)－1＝(x＋1)(x＋1)k1＋(x＋2)2·(x＋2)2k1

＋－－－＝(x＋1)(x＋1)k1＋(x＋1)(x＋2)2k1－(x＋1)·(x＋2)2k1＋(x＋2)2(x＋2)2k1

＝(x＋1)[(x＋1)k1＋(x＋2)2k1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k1.

＋－－因为(x＋1)k1＋(x＋2)2k＋－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，所以上面的式子也能被x2＋3x＋3 ＋1)＋1整除．这就是说，当n＝k＋1时，

(x＋1)(k＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除．

根据①②可知，命题对任何n∈N＋都成立．

方法归纳：

(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假

2

设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．

(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．

跟踪训练：

2．求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．

证明：①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．

②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，

那么当n＝k＋1时，x2k2－y2k2＝x2·x2k－y2k·y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)

＋＋∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除．∴x2(x2k－y2)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．

即n＝k＋1时，x2k2－y2k＋＋2能被x＋y整除．

由①②可知，对任意正整数n命题均成立．

探究三.用数学归纳法证明几何命题

例3.平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．

[证明]

①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1时命题成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一

个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点．这2k个点把这个圆分成2k段弧，

每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加

了2k部分，即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，

即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．

根据①②可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．

方法归纳:

(1)用数学归纳法证明几何问题时，在解题的过程中常用到一些几何图形的性质和计算公式，因此做题前要回忆这些性质和公式，并在解题时灵活应用．

(2)在寻找递推关系时，不能仅以两具体的数量关系来代替全部量间的数量关系，否则会得出错误的递推关系，必须从n的若干特殊值之间的关系去探求具有本质意义的真实关系．

跟踪训练：

3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋(

) π3A．

B．π

C．2π

D．π

22解析：选B．因为凸k＋1边形可认为在原来凸k边形基础上沿某一个边向外补作了一个三角形后再去掉该边得到的，所以其内角和应是原凸k边形内角和与新增三角形内角和之和即f(k＋1)＝f(k)＋π. 当堂检测：

1．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋11－an2＝(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得的项为(

) 1－a＋A．1

B．1＋a

C．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3

答案：C

3

2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则－当n＝k＋1时应得到(

) A．1＋2＋22＋…＋2k2＋2k1＝2k1－1

B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k1＝2k－1＋2k1

－＋＋＋＋C．1＋2＋22＋…＋2k1＋2k1＝2k1－1

D．1＋2＋22＋…＋2k1＋2k＝2k1－1 －＋＋－＋解析：选D．由条件知，左边是从20，21一直到2n－＋－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22 ＋…＋2k1＋2k，而右边应为2k1－1. 3．用数学归纳法证明34n2＋52n1(n∈N＋)能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋＋＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________________．

解析：当n＝k时，34n2＋52n1＝34k2＋52k＋＋＋＋1 ∴当n＝k＋1时，34n2＋52n1＝34(k＋＋＋1)＋2＋＋52(k＋1)＋1

＋＋1 ＝34(34k2＋52k1)－34·52k1＋52·52k＋＝81(34k2＋52k1)－56·52k1

＋＋＋至此即可以用上归纳假设推出81(3答案：81·(34k＋24k＋2＋52k＋1)是14的倍数又可以把56·52k＋1看成14的4·52k＋1倍的倍数．

＋52k＋1)－56·52k＋1

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