一 比较法教案和学案内容

2.2直接证明与间接证明（教学设计）（1）

2. 2 .1 综合法和分析法（1）--综合法

教学目标：

知识与技能目标：

（1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。

过程与方法目标: （1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。

情感、态度与价值观：

（1）

通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。

（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。

教学重点：了解综合法的思考过程、特点

教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括

教学过程:

一、复习回顾，新课引入：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

二、师生互动，新课讲解：

1.

综合法

在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例1（课本P36例）：已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc

给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为b2c22bc,a0，

所以a(b2c2)2abc。

因为c2a22ac,b0，

所以b(ca)2abc。

因此

a(bc)b(ca)4abc。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

222222PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的特点是：

由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例2（课本P37例3）：在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,

a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将

A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；

a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由

A, B, C成等差数列，有

2B=A + C ．

①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以

A + B + C=．

②

2．

③

32由a, b，c成等比数列，有

bac．

④

由①②，得

B=由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac．

22再由④，得

acacac．

2即

(ac)0，

因此

ac．

从而

A=C．

1

由②③⑤，得

A=B=C=．

3所以△ABC为等边三角形．

注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例3：已知a,bR,求证abab.

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

abbaab0aabbabbaabbb(aabbab)02）商值比较法：设ab0,

，从而原不等式得证。

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

24223(1xx)(1xx).

x1例4、若实数，求证：证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x3x1xx2x2x2x

43222(x1)(xx1)

2(xxx1) = =242423132(x1)2[(x)2].24

=13x1,从而(x1)20,且(x)20,24

∴

132(x1)2[(x)2]0,24成立

24223(1xx)(1xx).

∴例5．设函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0．

（1）证明f(x)为奇函数；

（2）证明f(x)在R上为减函数．

证明：（1）∵x，yR，f(xy)f(x)f(y)，

∴令xy0，f(0)f(0)f(0)，

∴f(0)0，令yx，代入f(xy)f(x)f(y)，得f(0)f(x)f(x)，

而f(0)0，∴f(x)f(x)(xR)，

∴f(x)是奇函数；

（2）任取x1，x2R，且x1x2，

则xx2x10，

∴f(x)f(x2x1)0．

又f(x2x1)f(x2)f(x1)，

2

∵f(x)为奇函数，

∴f(x1)f(x1)，

∴f(x)f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)0，

∴f(x)在R上是减函数．

三、课堂小结，巩固反思：

综合法的特点是：

由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

四、布置作业：

A组：

1、若a0,b0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的个数是____（个）（写出所有正确的情况）

①1ab12②1a1b1③ab2④11a2b28

【答案】：1个

【解析】①项4ab2ab，所以ab4，1111abab4；②项，abab4ab1；

③项ab2ab，所以ab2；④项，因为a2b22ab，

所以2(a2b2)(ab)216，得1a2b218，故只有④正确。

2、（课本P44习题2.2 A组：NO：1）已知A,B都是锐角，且AB2,(1tanA)(1tanB)2,，求证：AB4. 解：因为

(1tanA)(1tanB)2

展开得

1tanAtanBtanAtanB2

即

tanAtanB1tanAtanB.

（1）

因为

AB2，所以A2B.因为A,B都是锐角,所以A,2B都是锐角

从而

tanAtan(2B).

所以

tanAtanB1,即

1tanAtanB0。

（1）式变形得

tanAtanB1tanAtanB1

即

tanA(B)1

因为A,B都是锐角，所以

0AB4，从而AB4

3、（课本P44习题2.2 A组：NO：2）

4、在△ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cosAsinBsinC．判断△ABC的形状．

解：∵ABC180°，∴sinCsin(AB)．

又2cosAsinBsinC，

∴2cosAsinBsinAcosBcosAsinB，

∴sin(AB)0．

又A与B均为△ABC的内角，∴AB．

又由(abc)(abc)3ab，

得(ab)2c23ab，a2b2c2ab，

又由余弦定理c2a2b22abcosC，

得a2b2c22abcosC，

∴2abcosCab，cosC12，∴C60°．

又∵AB，∴△ABC为等边三角形．

3