二 用数学归纳法证明不等式教学设计内容推荐

用数学归纳法证明不等式

甘肃省永靖中学

张旭东

学习目标

1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式. 3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．

知识点

用数学归纳法证明不等式

思考1

用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？

答案

(1)归纳奠基：验证初始值．

(2)归纳递推：在假设n＝k成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立．

思考2

证明不等式与证明等式有什么不同？

答案

证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”．

梳理

(1)利用数学归纳法证明不等式

在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

(2)贝努利(Bernoulli)不等式

如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有(1＋x)n＞1＋nx. (3)贝努利不等式的推广

事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，仍有类似不等式成立．

①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；

②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．

类型一

数学归纳法与放缩法结合证明不等式

n111例1

用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋n(n∈N＋)．

22321证明

(1)当n＝1时，左边＝1＋，

2133右边＝1＋，≤，所以不等式成立．

222(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，

k111即1＋≤1＋＋＋…＋k成立，

2232则当n＝k＋1时，

11111k111＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1≥1＋＋k＋…＋kk

2322＋122＋122＋2k11

＞1k222k2k2k2k个k＋1k1＝1＋＋2k·k＋1＝1＋. 222即当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)可知，对所有n∈N＋不等式都成立．

反思与感悟

在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．

111跟踪训练1

用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n＜n(n∈N＋，n＞1)．

232－111证明

(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，

23左边＜右边，不等式成立．

(2)假设当n＝k时，不等式成立，

111即1＋＋＋…＋k

232－1则当n＝k＋1时，

1×2k111111111有1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1

2322＋122－122＋12－12－1＝k＋1，

所以当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．

类型二

利用数学归纳法证明数列不等式

1例2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．

21(1)判断S是否为等差数列，并证明你的结论；

n1122(2)证明：S2＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)．

12n24n11(1)解

S是等差数列，证明如下：S1＝a1＝，

2n1所以＝2. S1

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 1111所以－＝2.故S是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n. SnSn－1Snn(2)证明

①当n＝1时，

111S2，不等式成立．

1＝＝－424×1②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，

1221即S21＋S2＋…＋Sk≤－成立，

24k1111111222则当n＝k＋1时，S2＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－[－] ＋212kk124k4k＋124kk＋122211k＋k＋111k＋k＝－·＜－·

24kk＋1224kk＋1211＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立．

24k＋1由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立．

反思与感悟

(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础．

(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明．

11跟踪训练2

设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜. an1－a1证明

(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．

1－a1(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜. 1－a当n＝k＋1时，

1由递推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. ak1－a211同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，

ak1－a1－a1故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜. 1－a综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜1. 1－a

1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(

) A．n＝1

B．n＝2

C．n＝3

D．n＝4

答案

C 解析

由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．

2．用数学归纳法证明“Sn＝1A.

211C.＋

23答案

D 111111解析

S1＝＋＋2＝＋＋. 1＋11＋21＋3234111113．用数学归纳法证明2＋2＋…＋.假设当n＝k时，不等式成立，则当n＝2＞－23n＋12n＋2k＋1时，应推证的目标不等式是____________________．

答案

111111

2＋2＋…＋2＋2＞－23k＋1k＋22k＋31111＋＋＋…＋2＞1(n∈N＋)”时，S1等于(

) n＋1n＋2n＋3n＋31B.

4111D.＋＋

234解析

当n＝k＋1时，目标不等式为

111111. 2＋2＋…＋2＋2＞－23k＋1k＋22k＋34．用数学归纳法证明：2n＋2＞n2，n∈N＋. 证明

(1)当n＝1时，

左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边＞右边；

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边；

当n＝3时，

左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边＞右边．

因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，

即2k＋2＞k2. 当n＝k＋1时，2k1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2

(因为k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)．

所以2k1＋2＞(k＋1)2. ＋故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

由(1)(2)知，原不等式对任何n∈N＋都成立．

数学归纳法证明不等式的技巧

(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．

(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．

课时作业

一、选择题

1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(

) A．2

B．3

C．5

D．6 答案

C 解析

n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5. 11112．用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋n(n≥2，n∈N＋)的第一步需证明(

) 2<2－n232－12－11A．1<2－

2－111B．1＋2<2－2

22－1111C．1＋2＋2<2－2

232－11111D．1＋2＋2＋2<2－2

2342－1答案

C 111m3．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大2n24n＋1n＋2值为(

) A．12

C．14

答案

B 解析

令f(n)＝111＋＋…＋，

2nn＋1n＋2B．13 D．不存在

取n＝2,3,4,5等值，发现f(n)是单调递增的，

所以[f(n)]min＞mm，由f(2)＞，得m的最大值为13. 24244．对于正整数n，下列不等式不正确的是(

) A．3n≥1＋2n

B．0.9n≥1－0.1n

C．0.9n＜1－0.1n

D．0.1n≥1－0.9n

答案

C 解析

由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(n∈N＋，x≥－1)，得

①当x＝2时，即3n≥1＋2n成立；

②当x＝－0.1时，0.9n≥1－0.1n成立；

③当x＝－0.9时，0.1n≥1－0.9n成立．

∴0.9n＜1－0.1n不成立．

5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(

) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立

B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立

答案

D 解析

对于A，若f(3)≥9成立，

由题意只可得出当k≥3时，

均有f(k)≥k2成立，故A错；

对于B，若f(5)≥25成立，

则当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，故B错；

对于C，应改为“若f(7)≥49成立，

则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．

1113576．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.23n222观察上述结果，可推测出一般结论(

) 2n＋1A．f(2n)>

2n＋2C．f(2n)≥

2答案

C 345解析

由f(2)＝，f(22)＝，f(23)＝，

22267f(24)＝，f(25)＝，

22n＋2可推测出f(2n)≥. 2二、填空题

7．证明：n＋2111＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为2232nn＋2B．f(n2)>

2D．以上都不正确

________________．

111答案

2＜1＋＋＋＜3 234解析

当n＝2时，

111要证明的式子为2＜1＋＋＋＜3. 234

1113n8．用数学归纳法证明1＋2＋2＋…＋2≥时，假设当n＝k时，命题成立，那么当n23n2n＋1＝k＋1时，只需证明________________________________即可．

答案

3k＋33k1＋

2≥2k＋1k＋12k＋3解析

由假设知，当n＝k时，

1113k1＋2＋2＋…＋2≥，

23k2k＋1当n＝k＋1时，

11113k11＋2＋2＋…＋2＋＋，

2≥23kk＋12k＋1k＋123k＋13k＋33k1∴只需证明＋≥＝. 2k＋1k＋122k＋1＋12k＋39．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan1b，则M，N的大小关系为－________．

答案

M≥N

解析

当n＝1时，M＝a＋b＝N. 当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M. 当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M. 归纳得M≥N. 111n＋10．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2n1)－f(2n)＝23n2________________________________________________________________________. 答案

111＋＋…＋＋

2n＋12n＋22n1三、解答题

12n＋1111＋1＋1＋11．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式35…2n－1>2成立．

145证明

(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，

332左边>右边，所以不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时，不等式成立，

12k＋1111＋1＋…1＋即352k－1>2，

那么当n＝k＋1时，

1

1＋11＋1…1＋11＋352k－12k＋1－1

>2k＋12k＋2·

22k＋12k＋24k2＋8k＋44k2＋8k＋3＝＝>

22k＋122k＋122k＋1＝2k＋32k＋12k＋1＋1＝，

222k＋1所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．

11112．用数学归纳法证明：对任意n∈N＋，有(1＋2＋…＋n)(1＋＋＋…＋)≥n2. 23n证明

(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立．

19当n＝2时，左边＝(1＋2)(1＋)＝＞22，不等式成立．

22(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，

11即(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)≥k2. 2k则当n＝k＋1时，有

1＋1＋…＋1＋1

左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]kk＋12111111＋＋…＋＋(1＋2＋…＋k)·＋(k＋1)×1＋＋…＋＋1 ＝(1＋2＋…＋k)kk22k＋111k1＋＋…＋. ≥k2＋＋1＋(k＋1)k221113∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，

2k22k3∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×

223＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 2所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)对任意n∈N＋，不等式成立．

13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若不等式(1－111m)·(1－)·…·(1－)≤对任意n∈N＋恒成立，试猜想出实数m2a12a22an2an＋1的最小值，并证明．

解

(1)设数列{an}公差为d(d>0)，

2由题意可知a1·a4＝a22，即1(1＋3d)＝(1＋d)，

解得d＝1或d＝0(舍去)．

所以an＝1＋(n－1)·1＝n. 2n－1135m(2)不等式等价于···…·≤，

2462n2n＋1当n＝1时，m≥3；

235当n＝2时，m≥；

8而3353>，所以猜想，m的最小值为. 282322n－1135下面证不等式···…·≤对任意n∈N＋恒成立．

2462n2n＋13121证明：①当n＝1时，≤＝，命题成立．

232②假设当n＝k时，

2k－1135不等式···…·≤成立，

2462k2k＋1当n＝k＋1时，

2k－12k＋12k＋1135···…··≤·，

2462k2k＋22k＋12k＋22k＋1·≤

2k＋12k＋232323232只需证，

2k＋3只需证2k＋11≤，

2k＋22k＋3只需证2k＋12k＋3≤2k＋2，

只需证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，

即证3≤4，显然成立．

所以，对任意n∈N＋，不等式

2n－1135···…·≤恒成立．

2462n2n＋1四、探究与拓展

14．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：

32

(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2. 那么，当n＝k＋1时，2k1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. ＋即当n＝k＋1时不等式也成立．

根据(1)和(2)可知，对任何n∈N＋不等式都成立．

其中错误的步骤为________．(填序号) 答案

(2) 解析

在2k1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．

＋如k＝2时，k2＜2k＋1. 15．求证：111＋＋…＋＜n(n∈N＋)．

1·22·3nn＋1证明

(1)当n＝1时，

左边＝1，右边＝1，

2左边＜右边，所以不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，

即111＋＋…＋＜k成立，

1·22·3kk＋1则当n＝k＋1时，

1111＋＋…＋＋

1·22·3kk＋1k＋1k＋2＜k＋1，

k＋1k＋21＜k＋1即可，

k＋1k＋21，

k＋1k＋2只需证明k＋即证k＋1－k＞即证k＋1k＋2＞k＋1＋k，

即证k＋1(k＋2－1)＞k，

而当k≥1时上式显然成立，

所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)可知，不等式对所有n∈N＋都成立．