2.基本不等式优秀教学设计

3.4.2

基本不等式ab一、教学目标

ab的应用（一）

2ab；从不等式2利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式ab的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；二、教学重点

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式ab2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路ab；

2

三、教学难点

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式abab；

22.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路

教具准备

投影仪、胶片、三角板、刻度尺

四、教学过程

导入新课

师

前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式ab基本不等式abab.本节课，我们将利用2ab

来尝试证明一些简单的不等式2

(此时，老师用投影仪给出下列问题推进新课

问题1.已知x、y都是正数，求证：

(1)yx2；

xy(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3

师

前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？

生

不可以证明

师

是否可以用基本不等式证明呢？

生

可以

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）

解：∵x、y都是正数，∴＞0，＞0.∴xyyxxyxyxy22，即2yxyxyx

师

这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？

［合作探究］

师

请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？

（引导同学们积极思考）

生

可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质

师

这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位

生

∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2xy＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, 22x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x

2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2xy·2x2y2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y

2）（x 3＋y3）≥８x

3y3

师（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）

师

在运用定理：abab时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思2

路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证(此时，老师用投影仪给出下列问题

ab2a2b2)问题3.求证：(22

（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）

师

利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b

2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键

（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）

解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a

2＋b2）≥（a＋b）2

a2b2ab2ab2a2b2)，即()不等式两边同除以4，得≥(2222师

下面同学都是用这种思路解答的吗？

生

也可由结论到条件去证明，即用作差法

［课堂练习］

1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８ab分析：对于此类题目，选择定理：∵a、b、c都是正数，

∴a＋b≥2ab＞0,b＋c≥2bc＞0,c+a≥2ac＞

abab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

2∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８ab即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８ab

五、课堂小结

师

本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？

生

我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）

师

本节课我们用到重要不等式a

2＋b

2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（均数（ab）及它们的关系(ab），几何平2abab)证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只2要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求

函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来ab2a2b2)解决问题：ab，ab(22

师

同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础

六、布置作业

板书设计

基本不等式abab2的应用（一）

复习引入

例1

基本不等式

例2 abab2

方法引导

实例剖析（知识方法应用）示范解题

方法归纳

小结