3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义名师课堂实录

3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

学习目标

1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

知识点一

复数加减法的运算

思考1

多项式的加减运算实质是合并同类项，类比思考：复数z1＝1＋2i与z2＝3＋i如何加减？

答案

类比多项式合并同类项，让两复数实部与实部、虚部与虚部分别相加、减，即(1＋2i)＋(3＋i)＝4＋3i，(1＋2i)－(3＋i)＝－2＋i. 思考2

两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是一个虚数吗？

答案

不一定，如i＋(－i)＝0. 思考3

复数的加法满足交换律和结合律吗？

答案

满足. 1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.加法运算律：

交换律

结合律

知识点二

复数加减法的几何意义

思考1

复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？

z1＋z2＝z2＋z1

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

→→答案

如图，设OZ1，OZ2分别与复数a＋bi，c＋di对应，

→→则有OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，

→→由平面向量的坐标运算，得OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，

→→→→这说明两个向量OZ1和OZ2的和OZ1＋OZ2就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 思考2

怎样作出与复数z1－z2对应的向量？

答案

z1－z2可以看作z1＋(－z2). 因为复数的加法可以按照向量的加法来进行，

所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图). →→→图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1－z2. 复数加减法几何意义的实质就是向量的平行四边形法则和三角形法则.

类型一

复数的加减运算

例1

计算下列各题：

(1)(2－3i)＋(－2＋3i)＋1；

2i1i1(2)(－－)－(－)＋i；

2332(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i). 解

(1)原式＝(2－2)＋(－3＋33)i＋1＝1－i. 22111111(2)原式＝(－＋)＋(－－＋1)i＝＋i. 322366(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i. 反思与感悟

复数的加减法运算就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减. 跟踪训练1

已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.

解

z＋1＋2i＝10－3i，

∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i. 类型二

复数加减法的几何意义

例2

如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：

→(1)AO表示的复数；

→(2)对角线CA表示的复数；

→(3)对角线OB表示的复数. →→解

(1)因为AO＝－OA，

→所以AO表示的复数为－3－2i. →→→→(2)因为CA＝OA－OC，所以对角线CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→(3)因为对角线OB＝OA＋OC，所以对角线OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思与感悟

复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用. 跟踪训练2

复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 解

设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图.

→→→则AD＝OD－OA＝(x＋yi)－(1＋2i) ＝(x－1)＋(y－2)i，

→→→BC＝OC－OB＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. →→∵AD＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i. x－1＝1，x＝2，∴解得

y－2＝－3，y＝－1，

故点D对应的复数为2－i.

类型三

复数加减法的综合问题

例3

已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值. 解

方法一

设w＝z－3＋4i，

∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1. 可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆. 如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.

方法二

由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，

而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，

在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，

所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1. 反思与感悟

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数的模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 跟踪训练3

设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解

方法一

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1. (a＋c)2＋(b＋d)2＝2，

∴2ac＋2bd＝0. ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2

＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2. ∴|z1－z2|＝2. →→→方法二

设复数z1，z2，z1＋z2分别对应向量OZ1，OZ2，OZ.∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，

∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形. →→∴|z1－z2|＝|Z2Z1|＝|OZ|＝2.

1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(

) A.3，－2

B.3,2

C.3，－3

答案

A D.－1,4 解析

(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故选A. →→2.在复平面内，点A对应的复数为2＋3i，向量OB对应的复数为－1＋2i，则向量BA对应的复数为(

) A.1＋5i

C.－3－i

答案

B 解析

向量对应的复数即为A点对应的复数，

→→→又因为BA＝OA－OB，

而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i，

→故向量BA对应的复数为3＋i，故选B. 3.若复数z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，则复数z1－z2在复平面内对应点所在的象限是(

) A.第一象限

C.第三象限

答案

C 解析

z1－z2＝(－2＋i)－(1＋2i)＝(－2－1)＋(i－2i)＝－3－i，故z1－z2在复平面内对应点的坐标为(－3，－1)在第三象限. →→→4.在复平面内，复数z1、z2、z的对应点分别为Z1、Z2、Z，已知OZ＝OZ1＋OZ2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈R)，则a＋b＝________. 答案

8 解析

由条件知z＝z1＋z2，

∴(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i，

即(1＋b)＋(a－2)i＝3＋4i，

1＋b＝3，由复数相等的条件知，

a－2＝4，B.3＋i D.1＋i B.第二象限

D.第四象限

∴b＝2，a＝6，a＋b＝8.

1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.

一、选择题

1.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(

) A.第一象限

C.第三象限

答案

C 解析

z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，在第三象限. →→→→2.向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是(

) A.－10＋8i

C.0

答案

C →→解析

由题意可知OZ1＝(5，－4)，OZ2＝(－5,4)，

→→∴OZ1＋OZ2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(5－5，－4＋4)＝(0,0). →→∴OZ1＋OZ2对应的复数是0. 3.设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(

) A.10

B.55

C.2

D.52 答案

D 解析

∵z1－z2＝5＋5i，

∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝52. 4.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(

) A.－2

B.4

C.3

D.－4 答案

B 解析

z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4. 5.复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(

) A.a＝－3，b＝－4

C.a＝3，b＝－4

答案

A 解析

由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故B.a＝－3，b＝4 D.a＝3，b＝4 B.10－8i D.10＋8i B.第二象限

D.第四象限

b＋4＝0，a＋3＝0，4－b≠0，

解得a＝－3，b＝－4. 6.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(

) A.3

B.2

C.1

D.－1 答案

D 解析

z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i. ∵z1＋z2所对应的点在实轴上，

∴1＋a＝0，∴a＝－1. 7.若|z|＋z＝3＋i，则z等于(

) 4A.1－i

34C.＋i

3答案

C 解析

设z＝x＋yi(x，y∈R)，

由|z|＋z＝3＋i，得x2＋y2＋x＋yi＝3＋i，

4x＝3，x2＋y2＋x＝3，4即解得所以z＝＋i. 3y＝1，y＝1，4B.1＋i 34D.－＋i 3

二、填空题

8.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________. 答案

±23－2i 解析

∵z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，

由|z|＝4，得a2＋4＝16，

∴a2＝12，∴a＝±23，

∴z＝±23－2i. a9.在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC2＝－b＋ai，则实数a－b为________.

答案

－4

→→→解析

因为OA＋OC＝OB，

a所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，

22－b＝－2a，所以a得a－b＝－4. ＋a＝3，210.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________. 答案

－1 解析

z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，

2a－a－2＝0，∴2解得a＝－1. a＋a－6≠0，

→→→→11.在复平面内，O是原点，OA、OC、AB对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么BC对应的复数为________. 答案

4－4i →→→解析

BC＝OC－OB

→→→＝OC－(OA＋AB) ＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题

12.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2. 解

z＝z1－z2

＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]

＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，

又∵z＝13－2i(x，y∈R)，

5x－3y＝13，x＝2，∴解得

x＋4y＝－2，y＝－1，

∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，

z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i. →→13.已知平行四边形ABCD中，AB与AC对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.

→(1)求AD对应的复数；

→(2)求DB对应的复数；

(3)求△APB的面积. 解

(1)由于ABCD是平行四边形，

→→→所以AC＝AB＋AD，

→→→于是AD＝AC－AB，

而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，

→即AD对应的复数是－2＋2i. →→→(2)由于DB＝AB－AD，

而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，

→即DB对应的复数是5. 1→1→1→(3)由于PA＝CA＝－AC＝(－，－2)，

222→1→5PB＝DB＝(，0)，

22517→5→→→于是PA·PB＝－，而|PA|＝，|PB|＝，

422所以1755··cos∠APB＝－，

22417，

17因此cos∠APB＝－417故sin∠APB＝，

171→→故S△APB＝|PA||PB|sin∠APB

211754175＝×××＝. 2221725即△APB的面积为. 2