2.1.2 演绎推理10分钟试讲教案

2.1.2

演绎推理

学习目标

1.了解演绎推理的含义及其重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并进行一些简单的推理.3.利用具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系．

知识点一

演绎推理

思考1

分析下面几个推理，找出它们的共同点．

(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．

答案

问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．

思考2

演绎推理的结论一定正确吗？

答案

所得结论不一定正确．

梳理

演绎推理的定义特点

定义

特点

知识点二

三段论

思考1

所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？

答案

分为三段．

大前提：所有的金属都能导电．

小前提：铜是金属．

结论：铜导电．

2＋x思考2

在用三段论证明“已知f(x)＝lg ，则f(x)是奇函数”时，大前提是什么？

2－x答案

大前提为：奇函数的定义，即若对于函数f(x)的定义域中任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．

梳理

三段论的一般模式

大前提

小前提

一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

常用格式

M是P

S是M

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理

由一般到特殊的推理

结论

根据一般原理，对特殊情况作出的判断

S是P

知识点三

演绎推理与合情推理的关系

合情推理

推理形式

区别

归纳推理

部分→整体

个别→一般

推理所得结论

联系

1．演绎推理的结论一定正确．(

×

) 2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．(

√

) 3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．(

√

) 不一定正确

类比推理

特殊→特殊

不一定正确

演绎推理

一般→特殊

不一定正确

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理

类型一

演绎推理概念的理解

例1

(1)演绎推理是(

) A．由部分到整体、由个别到一般的推理

B．由特殊到特殊的推理

C．由一般到特殊的推理

D．由一般到一般的推理

考点

演绎推理的含义及方法

题点

演绎推理的含义

(2)《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(

) A．类比推理

C．演绎推理

考点

演绎推理的含义及方法

题点

判断推理是否为演绎推理

B．归纳推理

D．一次三段论

答案

(1)C

(2)C 解析

(1)由演绎推理的定义可知．

(2)这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用了五次三段论，属于演绎推理的形式．

反思与感悟

演绎推理是从一般到特殊的推理，这是它不同于其它推理的根本区别．

跟踪训练1

给出下列说法：

①演绎推理的特征为：前提为真时，结论一定为真；

②演绎推理的特征为：前提为真时，结论可能为真；

③由合情推理得到的结论一定为真；

④演绎推理和合情推理都可以用于证明；

⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．

其中正确说法的序号为________．

考点

演绎推理的含义及方法

题点

演绎推理的含义

答案

②⑤

解析

结合合情推理与演绎推理的概念判断．

类型二

把演绎推理写成三段论

例2

将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；

(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

考点

三段论

题点

三段论的结构

解

(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提

菱形是平行四边形，小前提

菱形的对角线互相平分．结论

(2)等腰三角形的两底角相等，大前提

∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提

∠A＝∠B.结论

(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提

当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论

反思与感悟

用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一

个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练2

(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为

大前提：________________________________________________________________________. 小前提：________________________________________________________________________. 结论：________________________________________________________________________. 考点

三段论

题点

三段论的结构

答案

(1)②

(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线

函数y＝2x＋5是一次函数

函数y＝2x＋5的图象是一条直线

类型三

演绎推理的实际应用

例3

(1)“因为对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝log1x是对数函数(小前提)，3所以y＝log1x是增函数(结论)”．上面的推理(

) 3A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

考点

三段论

题点

大前提错误导致结论错误

答案

A 解析

对数函数y＝logax(x>0)不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．

(2)用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C. 考点

三段论

题点

三段论的应用

证明

如图所示，延长AB，DC交于点M.

平行线分线段成比例(大前提)，

在△AMD中，AD∥BC(小前提)，

MBMC＝(结论)．

BACD等量代换(大前提)，

AB＝CD(小前提)，

MB＝MC(结论)．

在三角形中，等边对等角(大前提)，

MB＝MC(小前提)，

∠1＝∠2(结论)．

等量代换(大前提)，

∠ABC＝π－∠1，∠DCB＝π－∠2(小前提)，

∠ABC＝∠DCB(结论)．

反思与感悟

在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件，大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论．三段论推理是演绎推理的一般模式，同时也是一种最常用的推理．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，有时把一个三段论的结论作为另一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用．

跟踪训练3

用三段论形式写出求解下列题目的主要解答过程．

已知不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，求实数a的值．

考点

三段论

题点

三段论的应用

解

推理的第一个关键环节：

大前提：若不等式f(x)<0的解集为(m，n)，

且f(m)，f(n)有意义，

则m，n是方程f(x)＝0的实数根．

小前提：不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，

且x＝－1与x＝2都使|ax＋2|－6有意义．

结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根，

所以|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．

推理的第二个关键环节：

大前提：如果|x|＝a，a>0，那么x＝±a. 小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6. 结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6. 故可得出结论a＝－4.

1．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理(

) A．大前提错误

C．推理形式错误

考点

“三段论”及其应用

题点

小前提或推理形式错误导致结论错误

答案

B 解析

此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是(

) A．①

C．③

考点

三段论

题点

三段论的结构

答案

B 解析

大前提为①，小前提为②，结论为③. 3．用演绎推理证明y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数时，大前提是________．

考点

三段论

题点

三段论的结构

答案

减函数的定义

4．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．

考点

三段论

题点

三段论的结构

答案

log2x－2≥0 解析

由三段论形式得，结论应为log2x－2≥0. B．②

D．①和②

B．小前提错误

D．正确

1x1x5．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝是指数函数(小前提)，所以y＝33是增函数(结论)”．上面的推理中错误的是________．

考点

三段论

题点

大前提错误导致结论错误

答案

大前提

解析

大前提应为指数函数y＝ax(a>1)为增函数．

1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是明显的，则可以省略．

2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．

3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.

一、选择题

1．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是(

) A．正方形的对角线相等

B．矩形的对角线相等

C．等腰梯形的对角线相等

D．矩形的对边平行且相等

考点

“三段论”及其应用

题点

三段论的结构

答案

B 解析

由三段论的一般模式知选B. 2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”以上三段论是(

) A．大前提错

C．结论错

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理的正误判断

B．小前提错

D．正确的

答案

D 解析

前提正确，推理形式及结论正确，故选D. 3．“平行于同一直线的两条直线平行，∵a∥b，b∥c，∴a∥c.”这个推理称为(

) A．合情推理

C．类比推理

考点

三段论

题点

三段论的结构

答案

D 解析

符合三段论推理形式．

4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”关于上述推理，下列说法中正确的是(

) A．小前提错

C．推理完全正确

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理的正误判断

答案

C 解析

该推理完全正确．

5．“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理(

) A．正确

B．推理形式不正确

C．两个自然数概念不一致

D．两个整数概念不一致

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理的正误判断

答案

A 解析

该三段论的推理是正确的．

6．下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人

B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质

anC．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3)，由此归纳出{an}的通项公式

1＋anD．三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数

考点

演绎推理的含义及方法

题点

判断推理是否为演绎推理

B．结论错

D．大前提错

B．归纳推理

D．演绎推理

答案

D 解析

A选项，某校高三共有8个班，1班51人，2班53人，由此推测各班都超过50人，属于归纳推理；

B选项，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，属于类比推理；

C选项，由an＋1＝an(n＝1,2,3)归纳出{an}的通项公式，属于归纳推理；

1＋anD选项，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．

7．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四种说法：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中说法正确的是(

) A．①④

C．①③

考点

三段论

题点

三段论的结构

答案

A 解析

根据三段论的特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数．故①④正确．

8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(

) A．恒小于0

C．可能等于0

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理在函数中的应用

答案

A 解析

不妨设x1－2<0，x2－2>0，

则x1<2，x2>2，∴2

∴f(x2)－f(4－x1)，

从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，

∴f(x1)＋f(x2)<0. 9．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(

) A．－1

13C．－

22考点

演绎推理的应用

B．0

22B．恒大于0 D．可正也可负

B．②④

D．②③

题点

演绎推理在函数中的应用

答案

C 解析

由题意知，(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，

∴－x2＋x＋a2－a<1. 即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，

则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，

13∴4a2－4a－3<0，解得－

10．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为∅，则实数a的取值范围为__________．

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理在函数中的应用

答案

[0,2] 解析

∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，

则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R. ∴当a＝0时，2≥0，显然成立，

a>0，当a≠0时，

2Δ＝4a－8a≤0，

解得0

11.如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.

证明：在△ABC中，

因为CD⊥AB，AC>BC，①

所以AD>BD，②

于是∠ACD>∠BCD.③

则在上面的证明过程中错误的是________．(填序号) 考点

三段论

题点

小前提或推理形式错误导致结论错误

答案

③

解析

由AD>BD得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

三、解答题

12．用三段论证明：已知平面α∥平面β，直线l⊥平面α，l∩α＝A，求证：l⊥β. 考点

三段论

题点

三段论的应用

证明

如图所示，在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.

①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提

α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提

所以a∥b.结论

②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提

l⊥α，且a⊂α，小前提

所以l⊥a.结论

③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提

a∥b，且l⊥a，小前提

所以l⊥b.结论

④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提

因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提

所以l⊥β.结论

13.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2.等边三角形ADB以AB为轴旋转．

(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理在其它方面中的应用

解

(1)取AB的中点E，连接CE，DE，CD.

因为AC＝BC＝2，AB＝2，

所以△ABC为等腰直角三角形，

所以CE⊥AB. 因为△ADB是等边三角形，

所以DE⊥AB. 又平面ADB⊥平面ABC，

且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE⊂平面ADB，

所以DE⊥平面ABC，

又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE. 由已知得DE＝32AB＝3，CE＝1. 所以在Rt△CDE中，CD＝DE2＋CE2＝2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明如下：

当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，

所以C，D都在AB的垂直平分线上，

所以AB⊥CD. 当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，

又DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面CDE，

所以AB⊥平面CDE. 又CD⊂平面CDE，

所以AB⊥CD. 综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD. 四、探究与拓展

14．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x＋y＋z等于(

A．123

B．105 C．89

D．58 考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理在函数中的应用

答案

C )

解析

log2[log3(log4x)]＝0⇒log3(log4x)＝1⇒log4x＝3⇒x＝43＝64；

log3[log4(log2y)]＝0⇒log4(log2y)＝1⇒log2y＝4⇒y＝24＝16；

log4[log2(log3z)]＝0⇒log2(log3z)＝1⇒log3z＝2⇒z＝32＝9. 故x＋y＋z＝89. 15.如图所示，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，M，N分别为腰AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．

(1)AM＋AN是否为定值？请说明理由．

(2)如何设计才能使四边形BMNC的面积最小？

考点

演绎推理的应用

题点

演绎推理在其它方面的应用

解

(1)AM＋AN是定值，理由如下：

△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，

所以AB＝AC＝2. 因为M，N分别为AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分，

所以AM＋AN＋MN＝MB＋BC＋NC＋MN. 所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC，

又(AM＋AN)＋(MB＋BC＋NC)＝AM＋MB＋BC＋AN＋NC＝AB＋BC＋AC＝2＋22，

所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC＝2＋1，

所以AM＋AN为定值．

(2)当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小．

由(1)知，AM＋AN＝2＋1. 令AM＝x，则AN＝2＋1－x，

111故S△AMN＝AM·AN＝x(2＋1－x)＝－[x2－(2＋1)x]，

222当x＝2＋1时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，

22＋1时，四边形BMNC的面积最小．

2即当AM＝AN＝