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专题复习讲义

专题三、概率与统计（理）

一、高考动向：

概率与统计是高中数学的重要学习内容，在生活中有着广泛的应用，概率与统计的基础知识成为必备常识．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化思想的运用．

由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题。高中内容的概率、统计是大学统计学的基础，其着承上启下的作用，是每年高考命题的热点，在解答题中，概率是重点（等可能事件、互斥事件、独立事件），在选择、填空题中抽样方法是热点，

概率统计的考点主要有：

（1）等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四

种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力. （2）求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社

会热点为载体. （3）抽样方法的确定与计算、总体分布的估计. 二、知识再现：

1．互斥事件有一个发生的概率：

①

叫做互斥事件。

叫做对立事件；

②如果事件A1,A2,An彼此互斥，那么事件A1A2An发生（即A1,A2,An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1A2An)=

③

对立事件的概率的和等于1，即

P(A)P(A)1

。

2.相互独立事件同时发生的概率：

①

事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率

,这样的两个事件叫做相互独立事件：

②

如果事件A1,A2,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)=

;

③

如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好- 1 -

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发生k次的概率为

. 3．如果k表示n次独立重复试验中某个事件恰好发生k次，则称随机变量服从

，记做

，它的期望是

，方差是

。

4.

如果k表示n次独立重复试验中某个事件恰好在第k次第一次发生，则称随机变量服从

，记做

，它的期望是

，方差是

。

5. E(ab)

,D(ab)

. 6.抽样方法包含

、

、

三种方法。

7. 频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于数据落在相应区间上的频率，所有小矩形的面积之和等于1

8. 正态总体N(,2)的函数F(x)转化为标准正态总体N(0,1)的函数为

.

三、课前热身：

1．（2010年辽宁理3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A）23和，34[来源学科网]

1511

(B)

(C)

(D)

212462．（2010年四川卷）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72 （B）96 （C）

108 （D）144

3.

( 2010年山东理6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

(A) 66 (B) (C) 2 (D)2 554.

（2010年全国理6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为

（A）100 （B）200 （C）300 （D）400 P(≤4)0.84，0)5.（浙江理）已知随机变量服从正态分布N(2，2)，则P(≤A．0.16

B．0.32

C．0.68

- 2 -

D，0.84



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四、典例体验：

例1. (2010年天津理18)(本小题满分12分) 某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响。

3(Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率：

(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率：

(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列。

【命题意图】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

【解析】（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B5,.在5次射234022击中，恰有2次击中目标的概率P(X2)C51

33243222（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则

P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)

82112112 = =

813333333（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6

3232311 P(0)P(A1A2A3)

32721121122P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3) =

333333392124P(2)P(A1A2A3)

3332722382111P(3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

333327- 3 - 22

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82

P(6)P(A1A2A3)327所以的分布列是

3

P

0 1 2 3 6 1

272

94

278

278

27例2.

（2010浙江理数l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．

（I）

已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为

50％，70％，90％．记随变量为获得

k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的

分布列及期望E；

(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，

记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P(2)．

解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为

ξ

p 50％

70％

90％

3

163373则Εξ=×50％+×70％+90％=.

816164（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为由题意得η～（3，3

87

16339+=. 168169）

16- 4 -

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2则P（η=2）=C3(9291701)(1-)=. 16164096

例3（2010全国卷2理数）（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 例4．（2010天津理数）（18）.（本小题满分12分）

某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响。

3（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；

（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。

【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B5,.在5次射击中，- 5 - 23

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恰有2次击中目标的概率

4022

P(X2)C5133243222（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则

P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)

2112112 =

3333333 =323238

81（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6

11 P(0)P(A1A2A3)

3273P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

21121122 =

333333392124P(2)P(A1A2A3)

333272282111P(3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

33332782

P(6)P(A1A2A3)327所以的分布列是

322 - 6 -

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例5（2010湖南理数）．（本小题满分12分）

图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图

（Ⅰ）求直方图中x的值

（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。

五、能力提升：

（1）概率问题要认清概型、分清事件；

（2）注重规范性答卷，避免格式丢分。

练习1，甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和.假设两人射击是否击中34目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概．．．率是多少? （1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A为“4次均击265中目标”，则PA1PA1

3814（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

2PBC324211133C4

3448- 7 - 23

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（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

3231245131故PCC2

444441024

2．（安徽理，本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩．．．下的果蝇的只数. ．．．．（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望Eξ；

（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）

本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分。

解：（Ⅰ）的分布列为：



P

0 1 2 3 4 5 6 728

628

528

428

328

228

128

2(162534)2．

285432115（Ⅲ）所求的概率为P(≥E)P(≥2)

2828六、专项训练：

（Ⅱ）数学期望为E（一）

选择题：（ 30分

）

1．(福建5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为芽的概率是（

）

A.4，那么播下3粒种子恰有2粒发512164896

B.

C.

D.

1251251251251)，已知(1.96)0.025，则P(||1.96)= 2.

设随机变量服从标准正态分布N(0，A．0.025

B．0.050

C．0.950

- 8 -

D．0.975

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3．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m，n)与向量b(1，1)的夹角为，则0，的概率是（

）

A．

5

12B．1

2

C．7

12

D．5

64.

位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1，质点P移动五次后位`于点(2，3)的概率25121D．C2C5

2w.w.w.s.5.u.c.o.m 1是A．

2521B．C5 2521C．C3 25

5.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的

产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品

净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于

100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且

小于104克的产品的个数是(

). 频率/组A.90

B.75

C.

60

D.45 距

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

96 98 100 102 104 克

题图

106 第

8

6.

（2010年辽宁理3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为2和3[来源学科网]3，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

41511（A）

(B)

(C)

(D)

21246（二）

填空题：（ 8分 ）

- 9 -

专题复习讲义

7.

随机变量的分布列如下：



P

1

0

1

a

c

b

1其中a，b，c成等差数列，若E，则D的值是

．

38. 把15个相同的小球放入编号为1，2，3，的三个盒子中，要求每个盒子不空，则每个盒子放球个数不小于其编号的2倍的概率为： 。

（三）、解答题：（ 37分

）

9.

（本小题满分12分）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1，从B中摸出一个红球的概率为p．

3

(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E．

(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2，求p的值．

51222182.

解：（I）

(i) C4()()33381(ii) 随机变量的取值为0, 1, 2, 3.

kknk由n次独立重复试验概率公式P,得

n(k)Cnp(1p)132P(0)C50(1)5,

324311801P(1)C5(1)4,

332431180P(2)C52()2(1)3,

332433280217P(3)1.

24381随机变量的分布列是

0 1 2 3 

P

32808017

24324324381的数学期望是

- 10 -

专题复习讲义

E328080171310123

2432432438181（II）

设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。

10．（2010全国卷1理数）(本小题满分12分)

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，

则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评

审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．

各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

1m2mp23由,

3m513.

得p30

11.（全国Ⅰ20）（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

- 11 -

专题复习讲义

解：对于甲：

次数

概率

对于乙：

次数

概率

2 0.4 3 0.4 4 0.2 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2 0.2*0.40.2*0.80.2*10.2*10.64

- 12 -