实习作业课堂实录【3】

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

第三课时

教学目标

知识与技能

2理解独立性检验的基本思想，会根据K的观测值的大小判断两个分类变量有关的可信度，培养学生的自主探究的学习能力，并能应用数学知识解决实际问题．

过程与方法

通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体实例中归纳出进行独立性检验的基本步骤，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透统计的基本思想和方法．

情感、态度与价值观

使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神．

重点难点

教学重点：利用独立性检验的基本思想解决实际问题以及处理步骤；

教学难点：对独立性检验思想的理解．

教学过程

引入新课

提出问题：在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶．

(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？

学生活动：小组合作完成．

活动结果：根据题目所给的数据画出列联表：

秃顶

不秃顶

合计

相应的等高条形图如图所示：

患心脏病

214 451 665 患其他病

175 597 772 合计

389 1 048 1 437

比较来说，秃顶的病人中患心脏病的比例大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”．

根据列联表中的数据，得到

1 437×(214×597－175×451)k＝≈16.373>6.635，

389×1 048×665×772因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系．

设计目的：以实际问题创建情境，引起学生的好奇，激发学习和探究知识的兴趣，从而

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也引起学生的无意注意，在不知不觉中进入教师设计的教学情境中，为本节课的学习做有利的准备．

探究新知

提出问题：上述解法中，用到了等高条形图和独立性检验两种方法来判断“秃顶与患心脏病是否有关系”，试比较两种方法的关系和各自的特点．

学生活动：学生先自由发言，大胆描述．

学情预测：独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认，这主要是因为列联表中的数据来源于样本数据，它们反映出来的这种相关性的特征能够在多大程度上代表总体，则需要用独立性检验来确认．

提出问题：试总结独立性检验的基本步骤．

学生活动：思考总结，然后回答．

2活动结果：①根据数据画出列联表；②计算随机变量K的观测值；③与已知数据对照下结论．

设计目的：比较判断分类变量相关性方法的优缺点，并在解决问题的基础上将独立性检验的具体步骤模式化．

理解新知

提出问题：你所得的结论在什么范围内有效？

学生活动：学生先自由发言，教师逐步引导学生．

学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．

活动结果：“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其他的证据表明可以进行这种推广．

设计意图：让学生充分体会用样本估计总体的思想．

提出问题：两个分类变量X和Y的2×2列联表如下

x1

x2

总计

若令W＝y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b c＋d a＋b＋c＋d a－c，分析W的大小与“X与Y有关系”的联系．

试结合前面的学习，a＋bc＋d学生活动：分组讨论，通过协作交流来解决问题，教师进行适当的引导．

学情预测：W越大，越有利于结论“X与Y有关系”，它越小，越有利于结论“X与Y没有关系”．

2提出问题：类似于通过K的构造判断规则，我们也可以用W构造一个判断“X与Y有关系”的规则，即当W的观测值w>w0时，就判断“X与Y有关系”；否则，判断“X与Y没有2关系”．那么，在“X与Y没有关系”的前提下P(W≥w0)＝0.01，且P(K≥k0)＝0.01，可以通过k0来确定w0吗？

学生活动：分组讨论，通过协作交流来解决问题，教师进行适当的引导．

n(a＋b)(c＋d)222学情预测：由计算公式可得K＝W×，其中n＝a＋b＋c＋d.因此，K≥k0(a＋c)(b＋d)等价于W≥(a＋c)(b＋d)k0×，即可取w0＝n(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)k0×. n(a＋b)(c＋d)2

设计目的：通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力，提升思维的层次．在解决问题的过程中，激发学生的研究兴趣，培养学生的科学理性精神，体会交流、合作和竞争等现代意识．

运用新知

1为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

男

女

总计

2喜欢数学课程

37 35 72 不喜欢数学课程

85 143 228 总计

122 178 300 由表中数据计算得到K的观察值k≈4.513.在多大程度上可以认为高中生的性别与数学课程之间是否有关系？

2分析：根据K的观察值k≈4.513，对照数据确定多大程度上可以认为高中生的性别与数学课程之间是否有关系．

解：

P(K≥k0) k0

20.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83 2由上表可知k≈4.513>3.841，而P(K≥3.841)≈0.05，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高中生的性别与数学课程之间有关系”．

2点评：在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算K的观测值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视．

【变练演编】

2某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表.

不优秀

优秀

总计

不健康

41 37 78 健康

626 296 922 总计

667 333 1 000 提出问题：如何根据数据分析“高中生学习状况与生理健康”的关系？试阐述你的方案．

活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后全班交流．

学情预测：等高条形图、独立性检验等. 设计意图：设置本开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．

课堂小结

1．知识收获：独立性检验的思想方法及一般步骤；

2．方法收获：独立性检验的思想方法；

3．思维收获：数学来源于生活．

设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．

补充练习

【基础练习】

3

1．在研究某种新药对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：

新措施

对照

合计

存活数

132 114 246 死亡数

18 36 54 合计

150 150 300 试问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为新措施对防治猪白痢有效？

2．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，据此资料，在犯错误的概率不超过0.1的前提下，你是否认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机？

男性

女性

合计

2晕机

23 9 32 不晕机

32 25 57 合计

55 34 89 答案：1.提示：K的观测值k≈7.317＞6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为新措施对防治猪白痢有效．

222．提示：K的观测值k≈2.149＜2.706，而P(K>2.706)≈0.10，故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，我们不能认为在恶劣气候飞行中男性比女性更容易晕机．

【拓展练习】

3．考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系，调查了457株黄烟，得到下表中的数据，请根据数据作统计分析.

青花病

无青花病

合计

2培养液处理

25 80 105 未处理

210 142 352 合计

235 222 457 2457×(25×142－80×210)解：根据公式得K的观测值k＝≈41.61，

235×222×105×352由于41.61＞10.828，故在犯错误的概率不超过0.001的前提下，说明黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病是有关系的．

设计说明

本设计主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则．教师不是抛售现成的结论，而是充分暴露学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用．学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求：教与学有机结合而对立统一．良好的教学设想，必须通过教学实践来体现，教师必须善于驾驭教法，指导学法，完成教学目标，从而使学生愉快地、顺利地、认真地、科学地接受知识．

备课资料

独立性检验在实际生活中有广泛的应用，解决该类问题的关键是准确的运算．

例1为了研究色盲与性别的关系，调查了1 000人，调查结果如下表所示：

正常

色盲

男

442 38 女

514 6 根据上述数据，试问在犯错概率不超过0.001的前提下，色盲与性别是否是相互独立

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的？

解：由已知条件可得下表

正常

色盲

合计

2男

442 38 480 女

514 6 520 合计

956 44 1 000 2假设色盲与性别是相互独立的，即色盲与性别无关，依据公式得K的观测值k＝1 000×(442×6－38×514)≈27.139.

956×44×480×520由于27.139＞10.828，∴在犯错概率不超过0.001的前提下，可认为色盲与性别有关，从而拒绝原假设，故在犯错概率不超过0.01的前提下，可以认为色盲与性别不是相互独立的．

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