复习参考题教案设计范例

排列的综合应用1

长沙县第一中学

陈孟旭

学习目标

1．掌握几种有限制条件的排列．

2．能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题.

教学难点：与数字有关的排列问题

教学重点：1常见的解决排列问题的策略

2分类讨论在解题中的应用

教学用具：多媒体

教学方法：启发式教学

自主练习

1．在数字1、2、3与符号＋、－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是(

)

A．6

C．18

D．24

322B．12

解析：

符号＋、－只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有A·A3＝12种．

答案：

B

2．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(

)

A．36种

C．48种

B．42种

D．54种

解析：

先排丙：只有一种排法；

4若甲排第一位，则其余4个节目共有A＝24种排法．

43若甲排第二位，乙有3种排法，其余3个节目共有A种排法．

33∴3×A＝18

3∴共有24＋18＝42种．

答案：

B

3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有________．

3333解析：

个位数字是2的有3A＝18个，个位数字是4的有3A＝18个，所以共有36个．

答案：

36 4．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？

6解析：

不考虑任何条件限制共有A种，其中包括不符合条件的有：

65(1)数学排在最后一节，有A种；

55(2)体育排在第一节，有A种；

5但这两种情况都包含着数学排在最后一节，体育排在第一节的情况有4A种(即重复)．

4665544故以上共有A－2A＋A＝504种.

数字排列问题

例题1

用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

(1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)不大于4 310的四位偶数．

奇偶数问题先对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特殊位置，因此“0”，首位和末位要同时考虑，若正面考虑情况较复杂时，可用间接法求解．

解题过程]

(1)方法一(直接法)：

1第一步，排个位，有A种排法；

31第二步，排十万位，有A种排法；

44第三步，排其他位，有A种排法．

4134144故共有AAA＝288个六位奇数．

方法二(排除法)：

66个数字全排列有A个，

650,2,4在个位上的排列数有3A个，

541,3,5在个位上且0在十万位上的排列数有3A个，

4故对应的六位奇数的排列数为

665544A－3A－3A＝288(个)．

123124(3)①当千位上排1,3时，有AAA个．

1242②当千位上排2时，有AA个．

1③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；

31213形如41××的有AA个；

形如43××的只有4 310和4 302这两个数，

1231242124311231故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)．

题后感悟]

排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．

1.保持例1条件不变．

(1)求多少个被5整除的五位数？

(2)求多少个被3整除的五位数？

(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a}，则240 135是n第几项？

4解析：

(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上54431是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0有A种排法，其余3454441343各位A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)被5整除的五位数．

(2)被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除，则5个数可能有554144{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位分别为A和AA.

554144故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个)．

5(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位54数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，

45544∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193.

即240 135是数列的第193项．

三个女生和五个男生排成一排．

(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？

(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？

(3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？

(4)如果甲排在乙的前面，有多少种不同排法？

(5)如果甲、乙两人必须站两端，有多少种不同的排法？

(6)如果甲不站左端，乙不站右端，有多少种不同排法？

(3)这是一个有限制条件的排列问题，特殊元素是某女生，排头和排尾是特殊位置．需将问题合理分类、分步再计算．

(4)甲、乙顺序确定，先排其余6人．

[规范解答]

(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，6这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排6336633法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法.

2分

5(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6535563个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种6不同排法.

4分

(3)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人25665266排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法. 6分

3方法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，6556355其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法.

6分

88方法三(间接法)：3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除13773177女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的2366情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不8831773266同的排法，所以共有A－2AA＋AA＝14 400种不同的排法.

甲、乙两人定序，先安排其余6人，问题转化为从8个位置中选出66个位置安排6人，共有A＝8×7×6×5×4×3＝20 160种排法，此时甲、乙按8已定顺序排在其余的2个位置.

8分

2(5)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种，其余6人全2662266排列，有A种．∴共有AA＝1 440种.

10分

(6)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．

方法一(特殊元素法)：

7甲在最右边时，其他的可全排，有A种．

71甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种；而乙可排61在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有6166166AAA种．

77616166由分类计数原理：A＋AAA＝30 960种.

12分

(4)方法一：不考虑限制共有A88种排法，那么在这A88种排法中，包含甲和乙的所有排列法有A22种，由于甲在乙的前面，只占其中一类，因此甲排在乙的前面的所有不同排A88法有2＝20 160种.

8分

A2方法二(特殊位置法)：

1777

先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排有A种，但应1666剔除乙在最右边时的排法AA种．

17771666∴共有AA－AA＝30 960种.

方法三(间接法)：

88

12分

778个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时A种；乙766在最右边时A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A7种．

887766∴共有A－2A＋A＝30 960种. 排队问题常用的几种方法：

2.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)两名女生必须相邻而站；

(2)四名男生互不相邻；

(3)老师不站中间，女生不站两端．

2解析：

(1)两名女生站在一起，有A种站法，将其视为一个元素与其26他5人全排，有A种排法．

62266故两名女生必须相邻而站共有A·A＝1 440(种)站法．

3(2)先站老师和女生，有站法A3种，再在老师和女生之间的空当(含两4端)处插入男生，每空一人，有插入方法A种．

43344故四名男生互不相邻共有不同的站法A·A＝144(种) (3)中间和两端是特殊位置，可进行如下分类求解：

124155①老师站两端之一，另一端由男生站，有A·A·A种站法；

②两端全由男生站，老师站除两端和正中外的另外4个位置之一，女生144244站余下的除两端外的4个位置中的2个，有A·A·A种站法；

故共有不同的站法

124155144244A·A·A＋A·A·A＝960＋1 152＝2 112(种)．

课堂小结：

1．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤

2．有限制条件的排列问题的类型及解题策略

(1)含有特殊元素或特殊位置，通常优先安排特殊元素或特殊位置，称为“特殊元素(或位置)优先考虑法”．

(2)某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．

(3)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．

(4)符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差，故求符合条件的种数时，可先求与其对立的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．

作业：