2.基本不等式第二课时教案

第04课时

绝对值三角不等式

授课

陈军生

教学目标：

1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，

会进行简

单的应用。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学

思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

教学过程：

一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

x，如果x0 x0，如果x0。

x，如果x0 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）aa，当且仅当a0时等号成立，aa.当且仅当a0时等号成立。

（2）aa2， （3）abab， （4）aba(b0)

b那么abab?abab?

二、讲解新课：

探究: a,b,ab, ab之间的什么关系?

结论：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

00方法一：证明:1 .当ab≥0时, 2. 当ab<0时,

ab|ab|,

2

|ab|(ab)

a22abb2

22

|a|2|a||b||b|

(|a||b|)2

|a||b|

00综合1, 2知定理成立. ab|ab|,|ab|(ab)2a22abb2|a|22|ab||b|2|a|22|a||b||b|2(|a||b|)2|a||b|定理1 如果a,b是实数，则ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？

aba

ab

ab根据定理1，有abbabb，就是，abba。

所以，abab。

定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab

注：当a,b为复数或向量时结论也成立. 推论1：a1a2an≤a1a2an

推论2：如果a、b、c是实数,那么ac≤abbc,当且仅当(ab)(bc)≥0时,等号成立. 思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

三、典型例题：

例1、已知

xacc,yb，求证

(xy)(ab)c.

22证明

(xy)(ab)(xa)(yb)

xayb （1）

cc,yb，

22cc∴xaybc （2）

22xa由（1），（2）得：(xy)(ab)c

注意：

在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|) ·10四、课堂练习：

1.(课本P20习题1.2第1题)求证: ·x·20

⑴abab≥2a;⑵abab≤2b

2. (课本P19习题1.2第3题)求证: ⑴xaxb≥ab;⑵xaxb≤ab

五、课堂小结：

1．实数a的绝对值的意义: a(a0)⑴a0(a0);（定义）

a(a0)⑵a的几何意义:

2．定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab注意取等的条件。

六、课后作业：课本P19第2，4，5题

七．教学后记：