2.3.4 圆与圆的位置关系教学设计及课堂实录

圆与圆的位置关系教学设计方案

学

校： 本溪市第一中学 姓名：王桂菊

课

题: 圆与圆的位置关系

教学目标

一、教学知识点：

1．了解圆与圆之间的几种位置关系。

2．了解两圆位置关系与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

二、能力训练要求：

1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．

2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．

三、情感与价值观要求：

1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的

确定性。

2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点和难点

1.重点:

两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识。

2.难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏。

教法分析

1、把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识；

2、要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力；

3、在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为主要方法，贯串整个教学过程．教师适当启发学生思考问题，理解问题，解决问题；

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教学过程

（一）

创设情景，引入新课

1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）探究新知，讲解新课

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．

(图（6）) 2、学生归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点；

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(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一；

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．

教师提问并组织学生思考：“除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?”

学生给出结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

（三）分析、研究

1、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．

两圆外切

两圆内切两圆外离

两圆内含

dRr；

dRr；

dRr；

dRr；

两圆相交RrdRr；

说明：注重“数形结合”思想的教学．

2、相切两圆的性质．

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

3、相交两圆的性质.

提问：相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两

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圆具有什么性质呢? 1、学生观察总结：相交两圆也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．

2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．

3、证明：

提示让学生自己写出已知、求证和证明。

已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．

求证：Q1O2是AB的垂直平分线．

分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．

证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，

∴O1点在AB的垂直平分线上．

又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．

因此O1O2是AB的垂直平分线．

也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．

∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．

∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，

∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．

定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．

特别提示：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．

（四）应用、练习

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例1：判断下列两个圆的位置关系.

（1）C1:x2y22x30，C2:x2y24x2y30;

（2）C1:x2y22y0，C2:x2y223x60;

（学生自己练习）

练习：求圆心坐标为(3,4)，并与圆:x2y21相外切的圆的方程。

例2：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? （两个学生板演，其它学生自己练习，教师巡视指导）

练习：两圆:x2y21和(x4)2(ya)225相切，试确定常数a的值。

（五）课堂小结

1、两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；

2、以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；

两圆外切

两圆内切两圆外离两圆内含

dRr；

dRr；

dRr；

dRr；

两圆相交RrdRr；

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3、两圆相切时切点在连心线上的性质；

4、相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据；

（六）布置作业: 课本第103页练习A第1、2题

第104页练习B组第3题

板书设计

圆和圆的位置关系

一、

圆和圆的位置关系有五种：

例1

两圆外切

两圆内切两圆外离两圆内含

dRr；

dRr； 例2

dRr；

dRr；

两圆相交RrdRr；

二

、两圆相切和相交的性质：

教学反思

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由于本节圆与圆的位置关系是新课，这节课的内容与

“直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂。因此，我利用多媒体演示，极大的刺激了学生的感官，通过实例引入和让学生动手操作类比直线与圆的位置关系，猜测两圆可能存在的位置关系，然后经过讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况。同时以图形运动的手段向学生直观展现知识发生过程，

培养学生动态思维能力得到了预期的效果。

所以在数学教学中要注意揭示获取知识的思维过程,即数学知识的提出、形成、发展和探索过程。使学生在学习知识的过程中变被动接受现成的结果为主动经历思维过程，使思维在过程中展开，能力在过程中发展。

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