小结优秀教案案例

人教A版必修五第三章

不等式复习与小结

漳州三中

林位明

一、教学目标：

1．知识与技能：

会用不等式（组）表示不等关系；

熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；

明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

2．过程与方法：

通过对一元二次不等式解法的复习，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．

3．情感态度与价值观：通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．

二．重点难点 重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，

求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

三、教学方法

问题引导，主动探究，小组竞答形式．

四、教学过程

I.本章知识结构

II.知识梳理

1

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法；

2、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba

(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab011

ab(6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：

2设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

2

无实根

R



axbxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

xxx或xx

12bxx

2a



ax2bxc0(a0)的解集

xx

1xx2

2

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

（四）基本不等式abab

21、重要不等式：

a2b22aba,bR,当且仅当ab时，等号成立.2、基本不等式：如果a,b是正数，那么III.典型例题

1、下列命题正确的是

(

)

A．若ac＞bc⇒a＞b

B．若a2＞b2⇒a＞b

11C．若a＞b⇒a＜b

D．若a＜b⇒a＜b

答案：D 3 abab(当且仅当ab时取""号).

2

2.设a0,-1

答案：a

3.给出下列命题：

①a>|b| ⇒ a² >b²

②

a>b

⇒ a³>b³

③

|a|>b

⇒ a² >b² .其中正确命题的序号是

.

答案：

①

②

4.对于任意的实数a,b,c,d

，给出下列命题：

(1)若ab,c0,则acbc;11(2)若ab,则;ab(3)若ac2bc2,则ab;(4)若ab,则ac2bc2;(5)若ab0,cd,则acbd.

其中正确的有_____________.

答案：（3）

设计意图：1-5题主要考察不等关系与不等式基本知识点. 解法分析：客观题考察不等关系与不等式，在说明式子不成立的时候经常使用代入检验法.

5.不等式

x²>4的解集为______.答案：{x|x<-2或x>2}

6.不等式

x(3-x)<0的解集为______.

答案：{x|x<0或x>3}

7.不等式

x²-x+1≤0的解集为______.

答案：

8.不等式

-x²+4x+5≥0的解集为

______.

答案：{x|-1≤x

≤5}

9.关于x的不等式ax²＋5x+c>0的解集为{x|-1

答案：a=-1,c=6

10.关于x的不等式ax²＋ax－1<0的解集为R，则a的取值范围是________．

答案：(-4,0]

设计意图：6-10题主要考察一元二次不等式知识点. 解法分析：熟练掌握一元二次不等式解法（口诀），以及二次函数的图像.

x4y3011、变量x,y, 满足3x5y250

，

x1（1）求zxy的取值范围；

（2）求uy的取值范围；

x22（3）求d(x3)y的最小值.

4

答案：（1）[1722281,3]；（2）[,]；（3）

.

55517设计意图：掌握线性规划问题中截距型、斜率型、距离型问题的运用. 解法分析：用截距型、斜率型、距离型问题的几何意义解题. 12.已知a>0,则当a=

时，ya9有最小值

. a13.已知x,y均为正数,且2x+y=2，xy的最大值是

. 14.设x,yx的最小值是______.

x15.设x,则函数yx(1-x)的最大值是______.

16.已知正数x,y满足x+y=2,+1x4的最小值是______.

y答案：（1）3,6；（2）0.5；（3）

5;

(4)0.25;

(5)4.5.

设计意图：12-16题考察基本不等式的知识点. 解法分析：运用基本不等式的时候要注意一正二定三相等. IV、小结



V、课后作业

课后完成本章测试题

五、教学反思

人教A版数学必修五第三章不等式复习内容比较多（个人建议2-3课时），因此本节课花在复习基本不等式的时间偏少，未完成的知识要点例题只能留给学生课后完成。本节课重在引导学生利用思维导图建立第三章不等式的知识体系，并利用一些典型的题目来巩固对知识的理解和运用。采用小组合作竞赛的形式也是本人的初次教学实践尝试，虽然课堂气氛活跃，但是缺乏比较深入的小组讨论和更深刻的思维碰撞，也是带有一定遗憾的。

5

附：不等式过关测试题

1．设a,b,cR，且ab，则下列不等式成立的是（

）

2222

A. ab

B. acbc

C. acbc

D. 11

ab2．

若a,b,cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（

）

A．acbc

B．acbc

D．(ab)c20

c20

C．ab23.不等式x3x20的解集是（

）

2A．(,1)

B．

(2,)

C．(1,2)

D．

(,1)(2,)

4．不等式axbxc0(a0)的解集为R，那么

（

）

A. a0,0

B. a0,0

C. a0,0

D. a0,0

5.下列坐标对应的点中，落在不等式xy10表示的平面区域内的是（

）

A、0,0

B．2,4

C．1,4

D．1,8

6．不等式3x－2y－6>0表示的区域在直线3x－2y－6＝0 的（

）

A．右上方

B．右下方

C．左上方

D．左下方

x07．已知实数x、y满足y0，则zxy的最小值等于（

）

x4y4

A. 0

B. 1

C. 4

D. 5 11，则yx(12x)取最大值时的x值是

（

）

221112A．

B．

C．

D．

234329.若关于x的不等式mxmx10的解集为,，则实数m的取值范围为

. 8．已知0x10．已知x0,y0且x+4y400，则ylgxlgy的最大值是

. 11．若正数x、y满足x+yxy，则x4y的最小值等

. x＋y－2≥0，12．若实数x、y满足x≤4，y≤5，2

则s＝x＋y的最大值为

. 13.不等式axbx20的解集是{xy≤2x14．已知实数x、y满足y≥－2x.

x≤311x}，则a+b=

. 23

(1)求不等式组表示的平面区域的面积；

(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．

6

115．若不等式ax25x20的解集是xx2，

2

(1) 求a的值；

(2) 求不等式ax25xa210的解集.

2x2x4x8x216．①当x0时，求y的值域；②当时，求函数y=的最小值. x21x2

简要答案：

１-８

ＣＤＣＡＡＢＢＣ

9.4,0

10.2 11.9 12.9 13.-14 14. 解：画出满足不等式组的可行域如图所示：

(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，－6)，

所以三角形OAB的面积为：

1S△OAB＝×12×3＝18. 2zz11(2)目标函数化为：y＝x－，画直线y＝x及其平行线，当此直线经过A时，－的值最大，z的2222值最小，易求A

点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3－2×6＝－9. 15.

解：（1）依题意可得：ax5x2=0的两个实数根为

由韦达定理得：21和2，

2152，解得：a2；

2a2

（2）

则不等式ax25xa210，可化为2x5x30，

1

解得

{x|3x}，

21

故不等式ax25xa210的解集{x|3x}．

27

16.①

∵

x0

1x0，0

x11(x)2

，

xxx

当且仅当x1即x1时，取等号

x

2x2y2

又∵x1x1x

②当x2时，

x20,y[1,0).

40

x2x24x8(x2)2444∴y(x2)2(x2)4

x2x2x2x24即x4时，取等号

当且仅当x2x2x24x8∴函数y=的最小值为4. x2

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