复习参考题优质教案设计

磁县一中

数学组

胡宪文

3.4 基本不等式基础题型总结

磁县一中

胡宪文

一、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）加深对基本不等式的理解；

（2）会利用基本不等式求简单的最值问题；

（3）在使用基本不等式求最值时，注意：基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可.

2.过程与方法目标：

（1）通过探究解决不等式问题的方法，培养学生观察、比较、分析、等数学意识和解题能力；

（2）体会基本不等式的简单应用. 3.情感态度价值观目标：

通过层层设问，让学生带着问题去发现、去学习，充分挖掘学生的学习兴趣. 二、重点难点

重点：会使用基本不等式求最值，尤其注意基本不等式成立的前提条件和等号成立的条件；

难点：不知何时使用基本不等式，在使用基本不等式求最值时，容易忽略基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）.

三、教法分析

（一）学情分析

在使用基本不等式求最值问题中，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件. （二）教法

根据本节课的内容和学生的实际水平，采用探究式教学方法. （三）学法

以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验.设置问题，由浅入深，循序渐近，给不同层次的学生提供思考，创造和成功的机会. （四）教学手段

课件展示

四、教学过程设计

一．均值不等式

1.（1）若a,bR，则a2b22ab a2b2(2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”）

22. (1)若a,bR，则*abab 2*(2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

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胡宪文

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时可

以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

主要应用：求最大最小值

一、直接法

例1：求下列函数的最大最下值

11（1）y＝3x＋（x>0）

（2）y＝x＋

(x<0) x2x解题技巧：此类结构为倒数结构“基本不等式结构”。

二、配凑法

例2：(1)已知x

(2)当时，求yx(82x)的最大值。（凑系数）

5，求函数y4x21的最大值。（凑项）

44x5解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

三：

变量分离法

x27x10(x1)的值域。

例3. 求yx1思路一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离 思路二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 四：换元法

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt

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当,即t=时,y2t459（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)然后运用均值不等式来求最值。

五：函数单调性法

注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x单调性。

例4：求函数yAB(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，g(x)a的xx25x42的值域。

22解：令x4t(t2)，则yx5x24x241t(t2)

tx241因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,。

处理不满足不等式应用条件的方法总结：



一不正：负变正；



二不定：配凑、变量分离、换元；



三不等：利用函数单调性。

六、代换法（“1”的妙用）

例5、已知x,yR，且1t1t1t5。

252191，求xy的最小值。

xy变式1：已知x,yR且xy2，求变式2：已知x,yR，且x14的最小值。

2xyyxy，求x2y的最小值

m的取变式413：已知x,yR，且1，求使不等式xym恒成立的参数xy值范围。

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知识迁移：已知a,b,cR,且abc1

111(1)(1)(1)8

求证：abc课时小结

（1）利用均值不等式求最值时，必须注意三点：一正，二定，三相等。缺一不可。

（2）形如yx数单调性来求解。

（3）利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件。

作业：1.设0xa(a0)这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，可以借助函x3，求函数y4x(32x)的最大值。并求此时x的值

22．已知0x1，求函数y

3．0x

x(1x)的最大值.；

2，求函数y3x(23x)的最大值.

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