3.1.2 复数的几何意义第二课时 公开课

第三章 数系的扩充与复数的引入

课题：3.1.2 复数的几何意义

学情分析：

教学对象是高二的学生，本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了. 教学目标：

（1）知识与技能：

了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；

（2）过程与方法：

在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；

（3）情感态度与价值观：

培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

教学重点：

复数的代数形式和复数的向量表示. 教学难点：

复数与从原点出发的向量的对应关系；

课前准备：

PowerPoint课件.

教学过程设计：

教学环节

教学活动

设计意图

一、问题我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上提出问题,激发引入

的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？

学生学习兴趣。

问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数abi都可以从实数的集合一由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与一（用数轴上的二、学生平面直角坐标系中的点是一

一对应的，那么，我们怎样用平面点来表示）类比活动

内的点来表示复数呢？

联想提出复数几何意义的问题问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、

后，让学生尝试、A为终点的向量OA是一

一

对应的，那么复数能用平面向量来探索用直角坐标表示吗？

师生共同活动：

系中的点来表示复数

三、建构1．在平面直角坐标系xOy中，以复数zabi的实部a为横坐

数学

标、虚部b为纵坐标就确定了点Z(a,b)，我们可以用点Z(a,b)来

表示复数zabi，这就是复数的几何意义。

师生共同讨论,2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高有助于学生对复斯平面），x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数的几何意义的数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

理解

3．因为复平面内的点Z(a,b)与以原点0为起点、Z为终点的向

量OZ一

一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向

量OZ来表示复数zabi，这也是复数的几何意义。

y

Z:a+bi

Ox

4．

根据上面的讨论，我们可以得到复数zabi、复平面内的

点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系（见下图）。今后，常把复

数zabi说成点Z或向量OZ（并且规定相等的向量表示同一

个复数）。

5．相对于复数的代数形式zabi，我们把点Z(a,b)称为复数Z(a,b)复平面内

的点

用图形表示三者之间的关系,使学生加深印象. 复数

zabi一一对应

一一对应

平面向量

OZ一一对应

z的几何形式，向量OZ称为复数z的向量形式。并且规定，相等的向量表示同一个复数。

四、数学运用

运用1 例1.下列命题为假命题的是：（ ）

A：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

B：在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

C：在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

D：在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；

（2）课本P54练习1、2题。(口答) 运用2 例2

已知复数z＝(m2+m－6)＋(m2+m-2)i对应的点在第二象限,求实数 m 的取值范围．

变式 一、对应的点在直线x-2y+4＝0上，求实数m的值；

变式 二、证明：此复数对应的点不可能在第四象限。

通过例题的讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。培养学生思维的灵活性和深刻性。

问题3

我们知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有

模(或绝对值),它表示向量的长度.相应地,我们可以给出复数的

模(或绝对值）的概念吗？

向量OZ的模叫做复数zabi的模（或绝对值），记作︱

z︱或︱abi︱。由模的定义可知︱z︱=︱abi︱

=a2b2。

运用3 例3 求下列复数的模：

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R)

(5)z5=4a-3ai(a<0)

思考：（1）复数的模能否比较大小？

(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？

这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

巩固练习：

已知复数m = 2-3i,若复数Z满足不等式|z-m|=1,则z所巩固知识，培养对应的点的集合是怎样的图形？

技能.

五、课堂1.由实数用数轴上的点来表示,,类比联想到复数可用复平面上的

小结

点来表示,进而得到复数的向量形式,这是由一维到二维的联想,

同时实现了从”数”到”形”的转化. 2．通过复数的几何意义的学习

,体会数形结合的思想.复数作为一种新的数学语言,也将为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了可能. 六、作业课本P55页

习题3.1

3. 4 ,5；

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