阅读与思考 海伦和秦九韶教学设计(第一课时)

正余弦定理的应用教学设计

一．教材分析

本节课是学习了正余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是正余弦定理的应用而设计的，本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并解决问题。

二．教学目标设计

根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标。

知识与技能：1.能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义。

2.

会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系。

过程与方法：1采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮相学生逐步构建知识框架。

2通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用。

情感、态度、价值观：1激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值。

2培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

3进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

三．学生学情分析

本节课的数学对象是云南师范大学实验中学高二年级的学生。

1已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。

2存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。

难点：

1实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

2根据题意建立数学模型。

四．教学策略

1在探索概念阶段，让学生和老师共同参与完成例1.让学生体会实际问题建立数学模型，解答数学模型在得到实际问题解的过程。

2在应用概念阶段，通过对解答过程的分析，帮助学生掌握在实际问题中找寻

课解三角形的实际过程。

3教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程。

五．教学过程设计

【教学过程】

一、创设情境，明确目标

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是由以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余

1

弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

【学生活动】感受生活中的数学，提货生活中测量距离的现实需要。

【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在。数学方法是解决实际问题的一大途径。实际问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展。

【设计意图】通过引言，让学生体会解三角形在生活中的广泛应用，激发学生对于本堂课内容的浓厚兴趣。

二．实际问题，建立数学模型

问题一：测量距离问题

例1、如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离.测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,BAC51,ACB75,求A,B两点间的距离(参考数据：sin750000.97,sin5400.81,sin5100.78).

解：根据正弦定理，得

ABsinACBACsinABC

ACsinACB55sinACBsinABCsinABC55sin7555sin75sin(1805175)sin5465.9AB

总结：一般地，若A为可到达点，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离

答：A,B两点间的距离约为65.9m.

B

A

2

C

选定一个可到达点C；

→测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小

→利用正弦定理求AB的距离. 根据上述测量方案设置相关数据，计算A、B两点的距离公式是什么？

设AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β.

AB=dsinasin(a+b)

探究（二）：两个不可到达点的距离测量

如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝

3

，你能求出CD边的长吗？

例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得

ACasin()asin()sin180()sin()asinasinsin180()sin()

BC计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB

AC2BC22ACBCcos

3

问题二：测量高度问题

（1）：底部不可以到达

例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.

解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G,两点用测角仪测得A的仰角分别是，，CDa,测角仪器的高是h.在ACD中，AC=AB=AE+h =ACsin+h =asinsinsin()h.

asinsin(),

课堂小结：（采用提问式，学生阐述，老师适当补充）

1.

解三角形应用题的一般步骤：

2.

利用正余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

3.

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况

（1）已知量与未知量集中在一个三角形中，依次利用正余弦定理解之；

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件充足的三角形优先研究，再逐步在其他三角形中求出问题的解。

作业：课后小题1.2.3

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