小结教学设计及教案分析

3.4 基本不等式小结

ab一、教学目标：

ab

2知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；体会基本不等式求最值问题解题策略的建构过程；体会数形结合法的实际应用。

情感态度与价值观：通过对基本不等式证明过程的探索，强化学生的探索精神，加强学习数学的兴趣，并且让学生能够体会到一定的成就感，形成数学联系生活这一积极正确的数学观。 二、教学重点：应用数形结合的思想得到基本不等式，能用分析法证明基本不等式abab。

2三、教学难点：掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式

的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用。

四、教材分析：在前面的学习中，同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法，本节内容一定程度上是前面学习的运用，也是后面系统学习不等式证明的基础。基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，放缩法和证明不等式会经常用到基本不等式。另一方面，基本不等式作为求极值的的一种方法，经常运用于实际问题，而且是高考常考的知识点。通过基本不等式，常常可以将一些较为复杂的求极值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的惩承接作用。

五、教学过程

教学环节

创

设

情

境

教师活动

提问：大家会用四个全等的三角形来拼成一个正方形吗？大家小组讨论一下，待会请两位同学上台试试看。

（学生可能会拼出以下两种图形）

师：非常棒，看来大家还没有忘记初中学习学生活动

设计意图

学生小组讨论，根据学生以然后上台发表。

往学习过的

知识入手，学生可以很快的进入课堂，同样提出问题，激发学生

导

入

新

课

的东西。在初中的时候，我们曾经用这两个图形证明过一个定理，是什么？

师：我们还知道左边那个图形叫做“赵爽弦图”，其实这个图形不仅能够得到勾股定理，还能得出一个重要的不等式关系，叫做基本不等式。今天我们一起来研究一下。

（板书课题“基本不等式”）

学生回答：“勾股定理”。

的学习的兴趣。

合

作

探

究

一

问题1：大家能在这个图案中找出一些不等关系吗？从面积的角度看。

分析：在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为

。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是学生答：四个三角形的面积小于大正方形的面积。

学生在老师的

学生在学习勾股定理的

带领下一起分时候已经从S12ab

，正方形的面积为

S2a2b2。由图可知S2S1

，即ab2ab．

当直角三角形变为等腰直角三角形（如下图），即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有22析图形，得出不等式关系。

面积相等的角度分析了赵爽弦图，本节课让学生找出图形中面积不相等的关系，是从学生的近侧发展区出发。最后一步步得出了不等a2b22ab

。综上，22所以我们得到：ab2ab

问题2：考虑a.b属于实数时这个不等式成立吗？如何证明呢？

通过分析，在实数范围内是成立的。并且用作差法证明了不等式成立。

那我们就得到一个重要的不等式：

若

a,bR，则a2b22ab

合

作

探

究

一

问题3:如果我们用

代替a，用

代替b。

老师引导学生来分析出a,b的取值范围。

式关系。

根据老师的引导，学生可以自己得出结论。可以让学生提高数学学习的兴趣。

会得到什么不等式？有什么限制条件吗？

分析：得到ab2ab，变形可以得到

abab。

2分别讨论a，b有一个为0和全部为0时，不等式的情况。

由于当a，b为0时，情况很简单，所以不研究，我们规定a,bR。

合

作

探

究

二

问题4：除了作差法，还能用什么方法给出不等式

学生根据书中的提示，填空得出不等式的证

学生根据书上的提示可以很快的得出不等式的证明过程。书上的提示可以让程度差的学生也能够证明出不abab的证明呢？

2师：大家根据书中的提示，填空看看。（老师板书证明过程）

证明：由于a,bR，于是要证明 明方法。体会分析法的证明过程。

abab

， 2只要证明

ab2ab ， 即证 ab2ab0即 (ab)0

，

所以2ab（当ab

时取等号）。

ab

，2等式，增强学生学习的信心。

老师的对知识点的深入师：书上的方法叫做分析法，分析法的关键就在于“执果索因”。

知

识

点

师：由以上的分析我们可以得出一个重要不等式abab，其中a，b≥0，这个不等式学生听老师分2叫做“基本不等式”，也叫做“均值不等式”。析知识点。

说

因为明

叫做两个数的几何平均数，而叫做两个数的算术平均数。这个不等式的代数意义就是“两个数的几何平均数不大于它们的算术平均数”。下节课我们将一起探索基本不等式的几何意义。

师：这个基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决求最大（小）值问题的有用工具。大家来看下面这个例子。

学生根据新学的知识试着解讲解可以让学生更好的理解基本不等式。

通过例题巩固新学的知识，老师也能了解学生的掌握情况。

知

识

应

用

例：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，答例题，体会基问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

师：在应用基本不等式解决实际问题时，要注意三点：首先，要在a,b的取值范围要是正数；第二，我们要知道a和b的和或者积，即他们其中的一个要是定值；第三，要注意不等式相等的情况。这就是“一正二定三相等”。 本不等式在实际中的应用。

课

堂

小

结

师：这节课大家学到了什么呢？

1、根据图形得到了基本不等式、

2、用分析法证明了基本不等式，不等式相等的条件。

3、基本不等式在实际中的应用，求最值。

学生发言总结本节课学到的内容

带领学生复习这节课的内容。

六、板书设计：

3.4基本不等式

一.定理

若a,bR，则二.说明

七、教学反思

通过赵爽弦图得出基本不等

分析法证明基本不等式。

例题：

ab

式。

ab。2

1.这个课我在教技比赛上也讲过，在8分钟的教技比赛中这么多环节太多了，明显超时，而且讲课语速也太快了。在教技比赛时非常不稳重，为了缓解我的紧张，中间就笑场了。通过教技比赛的经历，我知道了老师上课时要特别注意语速，语气要有起伏，抑扬顿挫也能吸引同学注意，语速一定不能过快，这样学生会跟不上的。

2.这是我第一次通过一个个思考问题来串起一堂课，我觉得效果挺好的，讲课时候自己的思路也会清楚一些。一个一个问题可以让学生一边思考一边跟着老师一起学习。

3.在讲了基本不等式的限制条件“一定二正三相等”之后，应该再用其他例子来巩固一些，这里只讲了一个例子太少了。

4.在把重要不等式将a,b的范围扩充到实数范围，以及基本不等式讨论a,b的范围时应该通过板书来讲，口头解释学生不太容易理解。