2.2.2 反证法教学教案设计

2.2.2 反证法

（第一学时）

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）了解间接证明的一种基本方法——反证法

（2）通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.

2、过程与方法

通过简单实例，让学生充分体会反证法的数学思想，并学会简单应用

3、情感、态度与价值观目标：

（1）通过反证法的学习，让学生形成逆向思维的模式，体验数学方法的多样性，提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力

（2）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.

二、教学重点.难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题. 难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.

三、学情分析

反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.

四、教学方法

探析归纳，讲练结合、多媒体辅助

五、教学过程

复习：综合法与分析法

综合法与分析法各有其特点：分析法执果索因；综合法由因导果

分析法利于思考，综合法宜于表述. 在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程. 探究新知

【问题情景】A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么?

【简例初现，唤醒新知】证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°

已知：∠A，

∠ B，

∠ C是△ABC的内角. 求证：

∠ A，

∠ B，

∠ C中至少有一个不小于60°

证明：假设 ABC

的三个内角∠A，

∠ B，

∠ C都小于60°

所以∠ A < 60°，∠B < 60°，

∠C < 60°

∴

∠A+∠B+∠C<180 这与 “三角形内角和为180

” 相矛盾. 所以假设不成立，原命题成立。

先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确。 这种证明方法就是-----反证法

反证法的证明步骤：

【初试牛刀】

例1：用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 假设_________或_________, 由于____________时,_________________,与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又_________时,_________________,与(x-a)(x-b)≠0矛盾, 所以假设不成立, 从而______________________.

练：在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角. 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 当∠B是_____时，则_____________ 这与____________________________矛盾

当∠B是_____时，则______________ 这与____________________________矛盾；

综上所述,假设不成立.从而原命题成立。

例2：已知x>0,y>0，x+y>2，

求证：

1y1x, 中至少有一个小于2。

xy（假设1y1x,都大于等于2）

xy常用的互为否定的表述方式：

至少有一个————一个也没有 ； 至少有三个————至多有两个

至少有n个————至多有（n-1）个；至多有一个————至少有两个

例3：

设{an}是公比为q的等比数列.设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.

解题反思：

1、证明时，怎么才想到反证法的？

2、反证法中归谬是核心步骤，上面题中得到的逻辑矛盾是什么？

小结：

1、哪些命题适宜用反证法加以证明？

（1）直接证明困难 （2）含有“至多，至少”的命题

（3）“否定”的命题

（4）唯一性命题

2、常见的逻辑性矛盾

（1）与已知条件矛盾；

（2）与假设矛盾；

（3）与已有定义、公理、定理、事实矛盾

拓展：△ABC，三边a,b,c倒数成等差数列 求证：B为锐角

板书设计：

一、反证法的基本步骤

假设------------推理（矛盾点）——————结论

二、例题

例1：

例2：

例3 三、小结

四、课后作业

教学反思：

在本节的反证法的教学中，由于反证法学生从初中已初步接触，其基本思想已初步形成，侧重于强化应用能力。一方面先从简单的例子唤醒他们的知识，另一方面，提升他们应用反证

法证明的数学问题的能力，关键点是找到矛盾点。对学生对数学知识的综合应用能力较高。例如在讲到例3的时候，学生的思维开始发散，学生提供了一种方法，与我的准备的不一样。学生思维的灵活性，使得我们备课一定要要充分。同时也要加强调动学生的参与性及积极性。