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课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（1）

授课教师：帕如哈提·阿布拉

【教学目标】

1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法:

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．

【教学重、难点】

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．

【教学过程】

1．课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

课本P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：x25x0．

2．讲授新课

（1）一元二次不等式的定义

像x25x0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

（2）探究一元二次不等式的解集

怎样求不等式x25x0的解集呢？

探究：

①二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：x10, x25

二次函数有两个零点：x10, x25

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．

②观察图象，获得解集

画出二次函数yx25x的图象，如图，观察函数图象，可知：

x0，或x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y0，即x25x0；

当

当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时，y0，即x25x0；

所以，不等式x25x0的解集是x|0x5，从而解决了本节开始时提出的问题．

1

（3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax2bxc0，或ax2bxc0 (a0)．

一般地，怎样确定一元二次不等式ax2bxc0与ax2bxc0的解集呢？

组织学生讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

①抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2bxc0的根的情况；

②抛物线yax2bxc的开口方向，也就是a的符号．

总结讨论结果：

①抛物线

yax2bxc(a0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2bxc0的判别式b24ac三种取值情况(0，0，0）来确定．因此，要分二种情况讨论．

②a0可以转化为a0

分0，0，0三种情况，得到一元二次不等式ax2bxc0与ax2bxc0(a0)的解集．

设相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格) 0

0

0

二次函数

yax2bxc

(a0)的图象

一元二次方程

ax2bxc0

ax2bxc0(a0)的解集

ax2bxc0(a0)的解集

有两相等实根

bx1x2

2abxx

2a

有两相异实根

x1, x2 (x1x2)

无实根

xxx或xx

12R xx1xx2





3．范例讲解

例1 求不等式2x2－3x－2 > 0的解集.

1解：因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, x1,x22.2

2

1x|x,或x2.

所以，原不等式的解集是 ．2评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．

变式训练：

解不等式2x2－3x－2 <0．

1则不等式的解集为:x2解：整理得，

2例2.解不等式

－3x2＋6x > 2 解：∵－3x2＋6x > 2 得： 3x2－6x＋2 < 0 ∵方程的解3x2－6x+2 =0的解是

x1133x|1x1所以,原不等式的解集是

3333,x21.33例3.解不等式 4x2－4x＋1 > 0 1解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是21{x|x≠}.

2例4.解不等式

－x 2

＋2x－3 > 0

解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x

2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是. 课堂练习1.解下列一元二次不等式

（1）解不等式x2-6x-7>0

（2）x2-4x＋5>0

2课堂练习2. 当x是什么实数时



x

有意义? x



124．课时小结

1.一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。

2.解一元二次不等式的步骤：

(1)化成标准形式

ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0 (a>0) 即二次项系数化为正数。

(2)判定⊿与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0的实根。

（3）画出对应二次函数的图像

(4)写出不等式的解集

3

简称：一看a(二次项系数)，二算Δ，三画，四写解集

【作业布置】

课本第80页习题3.2[A]组第1，2题

【板书设计】

一元二次不等式的定义

探究一元二次不等式x25x0的解集

一元二次不等式的解的各种情况列表

范例讲解

例1 练习

例2 练习

【教学后记】

4