复习参考题课堂实录【3】

博学而笃志

切问而近思

高一数学（上）学习线索

一、

集合

1、元素的特征、确定性、无序性、互异性。

2、分类：有限集、无限集、空集

3、集合的表示，例如Axx1，无限集、数集、描述法：例如B(x,y)x2y21，点集，描述法：例如C，单元集，列举法。

4、元素和集合关系，aA，bA，集合和集合关系，子集AB，AB，

子集个数，AB，Ba1,a2an，A有2个，

nBAC，则A有2mn个，(B有n个元素，C有m个元素，) B 交集 ABB

BA ABA AB

B并集 ABBAB， ABAAB

B补集 A的补集表示CuA；摩根定律：CuABCuACu

并集补集=补集的交集

(AB) CuCuACuB，交集的补集=补集的交集（对偶律）

空集，“”（空箱子），（空房子里有空箱子）单元集

5、集合运算：交换律

ABBA，ABBA

结合律

ABCA(BC)，ABCA(BC)

分配律

A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC)

二、不等式（高一、二通用）

1、不等式的基本性质

（1）对称性abba （2）传递性：ab,bcac

（3）可加性abacbc （4）可积性：ab,c0acbc

（5）ab0,cd0acbd,ad ab,c0acbc

bcab0anbn，(nN*)，nanb ab,c0acbc

2、不等式证明（高二、高一若有余力可预习）

3、不等式的解法（不含参）

（1）一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式（可因式分解）、分式不等式，使用“序轴法”求解。

(x3)5(x2)4高次不等式：例如：0 解集xx3或x1

32(x1)(x2)

1

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1x210  x0

分式不等式：例如x0 xx

x

1(x1)(x1)0 0 

x1或0x1

xx

分式不等式一般形式：axb0 cxd

bdbd(,],() 若高次可类推，求解

caac(xx1)(xx2)0,(a0)一元二次不等式axbxc0 a(xx1)(xx2)0

(xx)(xx)0,(a0)122x1.2b（零点）

2axx1或xx2 x1xx2

22x1

例：x2x10 (x1)0

x22x40 无零点 

x22x40 R

（2）绝对值不等式f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)

例：axbc caxbc cbaxcb a0 或R a0 cbcbx

aacbcba0 x

aa

2

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axbc axbc或axbc axcb或axbc a0 或R

cbbc或x

aacbbc或x a0 x

aa a0 x

（3）对数、指数不等式：方程验根，不等式变量范围，函数定义域

指数不等式：af(x)xg(x)0a1,f(x)f(x) a1,f(x)f(x)f(ax)0或f(ax)0，令tax0换元法求t范围，ax范围x范围

指数方程：af(x)ag(x)f(x)g(x) f(ax)0令tax0换元法求t范围，ax值x值

对数不等式

g(x)logaf(x)logaf(x)00a1时g(x)0f(x)g(x)

f(x)0a1时g(x)0f(x)g(x)xxxxf(loga)0或f(loga)0令tloga换元法，求t范围loga范围x范围

1mn(mn)blogloglog,logaaaaalogbmlgbmnbnlogloglog,logaaaa注：对数法则：lgambmbloglognaan

x换元法求a，x值xlogat值，f(x)g(x)x对数方程：loga令tllogaf(x)g(x) 检根，f(logaog)0，值

4、解含参不等式：关键是掌握分类标准或分界值，一元二次含参不等式分为可因式分解和不可因式分解两类，前者零点分类，后者利用“”分类，对数、指数含参不等式，以底数大于1或小于1分类，若遇具体问题还须具体分析。

1）解下列含参不等式：一元一次，一元二次含参不等式

3

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一元一次含参不等式： 一元二次含参不等式

第一类，可因式分解，零点分类

第二类，不可因式分解利用“”分类。

指数、对数含参不等式：

5、不等式恒成立：（恒不等式）

不等式恒成立，式子已存在，求式子中含有的分母的范围，注意与解含参不等式加以区别。

（1）f(x)a恒成立，或f(x)a恒成立

方法（1）f(x)a0恒成立，或f(x)a0恒成立

（图象在X轴上方或下方）

利用“根的分布”求解（若在区间[m,n]上，“根的分布”求之，图象在区间上方或下方）

例如：y2kx26kxk8

定义域为R，求k范围。

解：kx6kxk80恒成立

k0k(0,1]

K0, 80

适合 或者 

236k4k(k8)0综上所述k0,1

方法（2）“变量思维”，用一变量表示另一变量，若一变量有范围则另一变量必有范围。

f(x)a恒成立，或f(x)a恒成立

(x)(x) 或afmax （取等同理）

afmin（2）常见恒不等式

a02

（1）axbxc0恒成立 或 ab0,c0

0a0 或 ab0,c0

0ab0a0或

0c0

（2）axbxc0恒成立 

2（3）yaxbxc 定义域R

即axbxc0恒成立a0ab01R定义域

即 或

ax2axc0c0222（4）y（5）ylg(axbxc)定义域为R

a0ab0 或 0c04

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a0

ylg(ax2bxc)值域为R0（6）axbxc0在[m,n]恒成立

2a0f(m)0a0①  ②  0f(n)0



0a0ab0③ f(m)0 ④

c0f(n)0

①②③④取并集

（7）方程axbxc0在[m,n]有解，即方程在[m,n]在两根或[m,n]有一根。

①a0时，bxc0

x2cc 若x[m,n]时a0。

bba00a0② f(m)0 或 

f(m)f(n)0f(n)0



b[m,n]2a三、逻辑联结词，四种命题，充要条件：

1、逻辑联结词1）“或，且，非”，或并集，且交集，非补集

2）复合命题三种形式，p或q，p且q，非q

3）复合命题真假判断①非p先判断p真假。p，非p，真假相对；

②p且q：一假必假；

③p或q，一真必真

4）非q语句的正反判断：

正： 等于、 大于、 小于、 能、 是、 都是、 任意、 任意两个、 至多有一个、

否：不等于、

不大于、

不小于、

不能、

不是、 不都（全）是、 某个、 某两个、 至少有两个、

正：

至少有一个、 至多几个、

所有的、 p或q。

否：

一个也没有、 至少n1个、 某些、 p且q。

5

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1、

四种命题，原命题、逆命题、否命题、逆否命题：

1）

2）用集合观点表示四种命题：

原命题“若p则q”为真

aqap

逆命题“若q则p”不一定真

apaq

p则q

q则p

p则q

q则p

否命题“若p则q”

不一定真

apaq

逆否命题“若q则p”

为真

aqap

注：互逆否同真假

例：命题“若xy0，则x、y全为零”

逆命题：“若x、y全为零，则xy0”

3、充要条件：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件。

1）若p则q真，pq，p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。

例如：若p则q逆命题为真，qp或pq即q是p充分不必要条件。p是q充分不必要条件。

可以通过命题真假判断条件是结论的什么条件，关键谁是谁的什么条件

例如:p是q的必要不充分条件qp若p是q逆命题为真命题

若p则q中pqp是q的充要条件，即若p则真，若q则p真

2）用集合观点表示充要条件

①p是q的充分不必要条件，若p则q真，pq,pq 例如：x1是x1（充分不必要条件），xx1xx1，从集合观点判断即方便又快

②p是q的必要不充分条件若q则p真，qp,qp

6 2222



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③p是q的充要条件，若q则p真，pq,pq

④p是q即不充分又不必要条件，若p则q假，pq或4、逻辑联结词，四种命题，充要条件部分典型例题

四：映射 f:AB,A,B非空时，f:AB成为函数，且CB

（1）一对一，多对一，为映射。（2）原象必有象，原象集合=A，象集合B,f:AB

五、函数：

1、基本函数图象

①ykxb直线一次函数

②y

2③yaxbxc二次函数 (a0)

AAB

BAB

k双曲线反比例函数

x

x(a0,a1)对数函数。

④yax (a0,a1)指数函数。 ⑤yloga

nqp

⑥幂函数，yxx (nq)

pn1凹上升1）

第一象限必有图象恒过（1，1）0n1凸上升

n0,x,y轴大限靠近7

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2）

p为 偶数，二、三象限无图象，只有一象限有 3）q为 偶数，二象限

奇数，二、三象限有图象 奇数，三象限

⑦一次分函数y x{ { axbda图象，双曲线中心(,)

cccxddadxb，y

，（分母=0，项系数之比），特列y为自反函数

cccxdaxbakad)

y (kbccxdccxd

⑧ymxanxb图象四点法

例如yx1x2 例如解不等式x1x22

yx1x2 令y1x1x2 y22

y2x1x1 要使y1y2 xR

2、函数图象的变化规律

①平移、周期、振幅变换

负加正减

ytf(x4)

，

1）ytf(x4)变换，平移变换

yf(x) X方向移4，y方向移t

ylogx2 X方向正向移2 y方向负向移3

y3log(2x2)

1 yf(wx)

w2）yf(wx)变换，周期变换 yf(x) X坐标（横）变为 y2 x变为原来x13x y2

33）yAf(x)变换，振幅变换 yf(x) Y坐标（纵）变为A倍 yAf(x) 8

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xx ylog2 纵变2 y2log2

②翻拆变换

2 1）yf(x) 下翻上 yf(x)

yx24x3 下翻上 yx4x3

2）yf(x) 右翻左 yf(x)

yx24x3 右翻左 yx24x3

原左不要 原左不要

3）yf(x) 上翻下 yf(x) yx24x3 上翻下 yx24x3

原下不要 原下不要

224）yf(x) 一象限中 yf(x)

yx4x3 一象限中 yx4x3

心对称 心对称

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例画（1）y2

(x1) （2）y2x1

的图象

x1解（1）y2x 右移1 y2x1 右翻左 y2原左不要

（2）y2x 右翻左 y2 右移1 y2原左不要

③对称变换

x

x1

1）yf(x) X轴 yf(x) (x,y) X轴 (x,y)，

yx22x1 X轴 yx22x1

2）yf(x) Y轴 yf(x) (x,y) Y轴 (x,y)

3）yf(x) 原点 yf(x) (x,y) 原点 (x,y)

4）yf(x) (a,b) 2byf(2ax) (x,y) (a,b) (2ax,2by)

例如y2x3 （2，4） 8y2(4x)3

对称

5）yf(x) xa yf(2xx)， (x,y)

xa (2ax,y)

6）yf(x) yb 2byf(x)， (x,y) yb (x,2by)

7）yf(x) yx xf(y)， (x,y) yx (y,x)

8）yf(x) yx xf(y)， (x,y) yx (y,x)

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9）yf(x) 直线axbyc0 yg(x)

3、函数的定义域：函数自变量的取值范围，实质：解方程组或不等式组。

①定义域的限制1）分式中分母不为零；2）偶次方根被开方数0；3）对数式中真数>0,底数>0且1；4）实际限制；5）复合函数定义域求法。

②复合函数：形如yf[g(x)]称为复合函数，g(x)移为内函数，f(x)移为外函数，复合函数定义域=内函数定义域，内函数值域=外函数定义域， 外函数值域=复合函数值域。

③函数解析式：换元法，待定系数法，消去法。

4、函数的值域：值域的求法，图象法、换元法、配方法、判别式法等（最值问题）

①一次整式：例如ykxb，根据实际情况求值。

2x2(x3)66y2

y2（分离常数法）

x3x3x3cxdbc 或者利用y

x y （直接运用规律）

axbaa②一次分式：例如y③二次整式：例如yaxbxc (a0)x[m,n]值域（最值）

图象法设a0，（a0类似讨论）

 2bbm n时

2a

2a ymaxf(n) yminf(m) ymaxf(m) yminf(n)

m yminbmnmnbn

2a222abbf() yminf()

2a2a

ymaxf(n) ymaxf(m)

观察法：

①自变量x在R上变化时 xR 二次函数最值

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a0a04acb2 无ymin

4acb2 无ymax ymaxnymin4a4a②自变量x在[m,n]上变化时，x[m,n]时

a0

b[m,n]

2abyminf()

2ab[m,n]

2aymaxmaxf(m)f(n)

a0

yminminf(m)f(n)

ymaxf(b)

2aymaxmaxf(m)f(n)

yminminf(m)f(n)

注；二次函数最值具有唯一性，f(b)、f(m)、f(n)“三取二”

2adx2exf③二次分式：形如y，去分母转化为x为的一元二次方程y充当x的系数

ax2bxc若xR,0,得出y范围

该方程根在[m,n]内利用“根的分布”求y范围或利用均值定理求值域（高x[m,n]二）

5、函数的单调性

yf(x)在定义域的某个区间[a,b]内设①定义：yf(x)在[a,b] 若若f(x1)f(x2)，x1x2，f(x1)f(x2)则yf(x)在[a,b] ，实质：函数图象的变化趋势。

注：单调性是区间性质，单调函数：f(x)在整个定义域内是单调的，例如y但在定义域(,0)(0,)没有单调性，则y②性质：1）f11在(,0) ，(0,) x1不是单调函数。

x(x)、f(x)单调性相同，注：单调区间定义域值域。

2）复合函数单调性yf[g(x)]，法则，同增减为增，异增减为减

3）若f(x)为奇函数在区间(a,b) 或 在其对称区间(b,a) 或 （同增减）但最值相反，最大值变为最小值，且符号相反，反之依然。

若f(x)为偶函数在区间(a,b) 或 在其对称区间(b,a) 或 （异增减）但最值不变，

4）若f(x)，g(x)在(a,b)上同 或 则f(x)g(x)在(a,b) 或

若g(x)，f(x)恒大于0，f(x)，g(x)在(a,b)上同 或 ，则f(x)g(x)在(a,b) 或 12

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注f(x)g(x)，f(x)无法判断

g(x) 若f(x)在(a,b)单调性与f(x)t相同，f(x)与[f(x)]2单调性相同

5）yxa （a0）（重要函数及其图象）

x证明：令x1x2且x1、x2(0,) f(x)f(x)

故x(,0)上单调性可利用性质③证得

2a f(x1)f(x2)(x1x2)(a

aaa)(x1x2)(1)

x1x2x1x2a2a1）若x1x2

（若x1x2a，则a1，引入分界值a）

x1x2a

1a0，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)

f(x)在(0,a)

x1x2a0

f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)

f(x)在(a,)

x1x22）若ax1x2

1f(x)在(0,a) (a,) 且f(x)为奇函数

f(x)在(a,0) (,a)

6、函数的奇偶性，实质：函数图象的对称性

①定义：yf(x)对于定义域内的每一个x均有f(x)f(x)或f(x)f(x)则称yf(x)为偶函数或奇函数

②判断奇偶数步骤：第一步，定义域是否对称；第二步，是否满足f(x)f(x)

③分类：1）奇函数；2）偶函数；3）非奇非偶；4）即奇又偶

注：即奇又偶函数f(x)0 x[a,a]

有无数多个

④性质：1）若f(xa)是偶函数，则f(x)关于xa对移

若f(xa)是奇函数，则f(x)关于(a,0)对移

2）奇奇=奇，奇偶=非奇非偶，偶偶=偶奇×奇=偶，偶偶=偶，奇×偶=奇

3）奇函数yf(x)关于原点对称，偶函数yf(x)关于Y轴对称

4）若f(x)f(x)

（或f(x)为偶函数），则f(x)f(x)

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奇偶性、单调性高考要求：高考题中关于奇偶性考察以下两类1）判断给定函数奇偶性；2）利用奇偶性解决有关问题，单调性考察。1）求函数单调区间，2）利用定义判断函数在所给区间上单调性，3）较简单的复合函数单调性。

7、反函数：yf(x)的反函数记为f1(x)，注：定义域、值域必须一一对应

①反函数求法：第一步，先求定义域即原函数值域，第二步，互换x、y解出y。

axbax1为自反函数（原函数，反函数为同一函数），y为自反函数，则a5。

cxa4x5③反函数性质：1）互为反函数的两个函数关于直线yx对称。

②y2）f(x)为奇函数，f3）f(x)，f4）f111(x)也为奇函数。

(x)单调性相同。

[f(x)]x (xA) f[f1(x)]x (xC)

b24acb2)8、二次函数：yaxbxc (a0)一般式，ya(x，顶点式。

2a4a2 ya(xx1)(xx2) 两点式。

注：x2x12(x1x2)24x1x2，二次函数最值问题详见题单

a2二次方程axbxc0

(a0)根的分布或f(x)axbxc

(a0)图象与X轴交点的情况：根的分布是高考解答题的重要手段

步骤：三个层次：第一层次①开口方向

第二层次②端点对应函数值

第三层次③对称轴（左右），判别式（上、下）

根的分布分类：零分布、区间分布；注：零分布是区间分布特例，

第一类：零分布（利用“”、“x1x2”、“x1x2”判断）

00001、二根>0x1x20 即ab0 2、二根<0x1x20

即ab0

ac0xx0ac0二正根

x1x20二负根

123、二根异号f(0)0 （二根异号）

第二类：区间分布（利用开口、端点、对称轴、判别式判断）

1、二根(k,) 2、二根(,k)

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f(k)0f(k)00 0

b

bkk2a2a3、x1k且x2k

，x1(k,)x2(,k) 4、二根(k1,k2)

f(k1)0f(k)02

f(k)0 0

k1bk22a5、仅有一根在(k1,k2)间 f(k1)f(k2)0

9、抽象函数：抽象函数的有关问题是指题目条件未给出具体解析式，利用函数的相关问题解决函数有关问题。注：f(1)、f(1)、f(0)三值在解决抽象函数问题时起关键作用。

10、二元条件等式，求最值，方法：代化法（例如已知xy1，求4x5y最值。）

步骤：第一步，根据条件等式本身分母范围

22平等地位：x1y0,y[1,1] 

2附属地位：形如yx3yx20,0y?222 第二步：优入条件等式应用“”或优入结论优数式：二次式求最值。

222 4x5y4(1y)5y4y5y4 y[1,1]

(4x5y)max4x()5x22258254

8 (4x5y)min4x(1)5x(1)4

六、数列：主要研究等差、等比数列或任意数列求和，主要在于将数列有关问题转化为等比、等差的有关性质和问题。本章数列问题，涉及过多的公式，及补充性质，希望同学们多复习，加强记忆，“有志者，事竟成”，“学习如逆水行舟，不进则退”。

（一）1、数列特点：有序性、可重复性。

分类：有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列

、常数列。

2、任意数列通项an与前n项和Sn关系，Sna1a2a3an

S1a1(n1)an

SnSn1(n2)15

博学而笃志

切问而近思

例：（an与Sn联系）数列an前n项和为Sn，若S1,S2,S3组成公比为q(q1)的等比数列，求证：a2,a3,a4也成等比数列。

解Sn是以q为公比等比数列SnS1qn1a1qn1

n1 n2时，anSnSn1a1q(1a1) n1anq1a1(1)qnqq1 得证

1n1a1(1)qq（二）等差数列：

1、判断数列an是否为等差数列的常用方法

（1）an1andan为等差数列，（判断、证明）

（2）2ananmanman为等差数列，（判断、证明）

dA（3）anAnBan为等差数列（判断）

aAB1（4）SnAn2Bnan为等差数列a1AB（判断）

d2A2、通项公式：

anam(nm)da1(n1)d d3、等差数列前几项和公式：

anamaa11

nnnmdSnn(a1an)n(n1)n(n1)na1dnandna中

2224、等差数列an的性质

（1）若mnst则amanasat （2）ana1an1a2an2a3

（3）若an是等差数列，则kanb，ananm也是等差数列

则Sn、S2nSn、S3nS2n……也成等差

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博学而笃志

切问而近思

S(2k1)a中S(k1)aS偶S奇kd奇中（4）等差数列an中，n2k时S奇，n2k1时S偶ka中

akSSaS偶ak1偶中奇S奇k1Sk偶（5）等差数列an和a1n中Sna中anS2n11，11

1Sna中anS2n1（6）等差数列的几个重要结论：

结论1：若：anm amnamn0 d1

例如：a38，

a83 a110

结论2：若：Smn,Snm,Smn(mn) 例如S10100，S10010，S110110

结论3：若：SmSnSmn0

例如S10S100 S1100

an0（7）若a10,d0，求n为何值有Smax，则 a0n1 若a10,d0，求n为何值有Smin，则an0 an10a1dd2 故n取值时S或S）

minmax

（或几何法Sn（三）等比数列

d2dn(a1)n对称轴n221、判断an是否为等比数列常用方法：

（1）an12qan等比数列 （2）anan1an1an为等比数列(an0)

an（3）ana1qn1amqnman等比数列

（4）SnAAqnan为等比数列 （其中，a1AAq,Aa1）

1q17

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切问而近思

2、通项公式：ana1qn1amqnm,qnman

ama1anqa11qnaaa3、求和公式：Sn

11qnAAqn（其中，q1,a1AAq,A1）1q1q1q1q1qSnna1,(q1)

4、等比数列性质

（1）若mnSt 则amanasat（2）ana1an1a2an2a3

（3）若三数成等比

，积为定值可设 aaa,a,aq 若四数成等比，积为定值可设 3,,aq,aq3

qqq（4）若an为等比数列，则Sn、S2nSn、S3nS2n……也成等比

（5）若an为等比数列，则kan、anan1、anan1、anbn，（bn为等比，）也为等比数列

（四）、任意数列求和

1、常用公式：①等差数列：

Snn(a1an)11ddna1n(n1)dnann(n1)dna中n2(a1)n

22222na1,q1②等比数列：Sna1anqa1(1qn)

,q11q1q③1234n④123n2、常见类型及解答方法：

①系数成等差，项成等比，方法：错位相减

②分数数列，方法：裂项相等

③幂数列，乘积数列，方法：分解转化法

④差型数列，差成等差或等比（规律）an1anf(n)方法：叠加法

⑤商型数列，差成等比或等差（规律）3333222221n(n1)(2n1)

612n(n1)2

4an1f(n)方法：累乘法

an⑥一阶递归数列，an1panq方法：待定系数法，或差分法

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