3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质教案设计

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)

理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教学过程：

讲解新课：

一．复数代数形式的加减运算

１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2.

复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3.

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：

4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：

讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)

二.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

１．复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

一一对应平面向量OZ

2.

复数zabi3.复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2一一对应为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)

与z1+z2 相对应

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么

这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z; z在平面内所对应的点在第几象限？

解：

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.

即AB所表示的复数是zB－zA.

. 例4

复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用ADBC，求点D的对应复数.

点D对应的复数为2－i. 分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解. 解法二：

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

巩固练习：

1.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于第

象限

2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是

3.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为

4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

5.计算(－23i)(32i)[(32)(32)i]=____. 6.计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R). 7.计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i). 8.已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2（O

为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值. 课后作业：课本第112页

习题3.2

1 , 2 , 3