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3.5简单的线性规划问题习题课

学习目标： 1.了解实际线性规划中的整数解求法. 2.会求一些简单的非线性函数的最值．

学习过程：

一、心动入境： 知识点1：非线性约束条件

思考

类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x－a)＋(y－b)≤r的可行域．

梳理

非线性约束条件的概念．约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件．

知识点2：非线性目标函数

222思考

x＋y≥6，在问题“若x、y满足x≤4，y≤4，

求z＝y－1的最大值”中，你能仿照目标函数z＝ax＋by的几何意义来解释zx－1＝y－1的几何意义吗？

x－1梳理

下表是一些常见的非线性目标函数. 目标函数

目标函数变形

几何意义

最优解求法

平移直线y＝－x，使在z＝ax＋by (ab≠0)

azy＝－x＋

bb在y轴上的截距是

zbaby轴上的截距最大(或最小) 改变圆(x－a)＋(y－b)22(x－a)＋(y－b)

22令m＝(x－a)＋(y－b)，点(x，y)与点(a，b)距离则目标函数为(m)

222＝r的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的交点

2的平方

y－b

x－aa2＋b2·

点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率

绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线斜率

平移直线ax＋by＋c＝0，寻求与可行域最先(或最后)相交时的交点

|ax＋by＋c|(a＋2点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的a＋b倍

22b2≠0)

|ax＋by＋c|

a2＋b2二、灵动探究 探究一

生活实际中的线性规划问题

例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)

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温馨提示：在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．

探究二

非线性目标函数的最值问题

命题角度1 斜率型目标函数

2x＋y－2≥0，例2 已知实数x，y满足约束条件x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0.

试求z＝y＋1x＋1的最大值和最小值．

试一试：1．把目标函数改为z＝3y＋12x＋1，求z的取值范围．

2．把目标函数改为z＝2x＋y＋1x＋1，求z的取值范围．

三、互动评说： 命题角度2 两点间距离型目标函数

2x＋y－2≥0，例3 已知x，y满足约束条件x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，

试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．

试一试：在例3约束条件，试求z(x1)2(y1)2的最大值和最小值．

温馨提示：

(1)对于形如cx＋dy＋fax＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．

(2)当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

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