小结教学设计一等奖

基本不等式的应用

摘要:

基本不等式是中学数学中非常重要的不等式，在解题中应用十分广泛.灵活应用基本不等式解题是高考命题的热点，是教与学的重点及难点.通过举例来探讨基本不等式在解题中的一些应用及注意事项，让学生在学习中充分经历知识的形成过程，从而形成自己对基本不等式的突破策略，培养学生的归纳、总结能力. 关键词: 不等式；中学数学；基本不等式；函数最值

一、

基本不等式的内容及使用要点

1、

二元基本不等式：

①

a,b∈R时，a2b22ab（当且仅当a=b时“=”成立）；

②

a,b≥0时，a+b≥2ab（当且仅当a=b时“=”成立）. 这两个公式结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式变形：2a2b2abab,ab。

222、

三元基本不等式：

abc3如果a,b,cR,那么abc,当且仅当abc时，等号成立。3这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。事实上，基本不等式可以推广到一般情形：对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1a2anna1a2ann当且仅当a1a2an时，等号成立。二、基本不等式的应用

1、

用于求最值

①

直接应用

例：设0

解：0x2.5,52x0.252x52xy2x(52x)24

525当且仅当2x52x，即x时等号成立，故函数y2x(52x)的最大值为.442

1

②类型一：积定和最小

如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2p。

简记：积定和最小

例：若实数x,y满足xy=1,求x2+2y2的最小值。

当且仅当x2y时取“”，x2y最小值为22。22解：x22y22x22y222xy22,②

类型二：和定积最大

s2如果和xy是定值s,那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

4例：已知a0,b0,且4ab1,求ab的最大值。解：a0,b0,且4ab1，114ab1ab4ab442161当且仅当4ab时，等号成立。21b的最大值为16③

类型三：配凑求最值

2

有些题目虽然不具备直接使用基本不等式求最值的条件，但是可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式。常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等。

例：设x1,求函数y解：x1，x10,x5x2的最小值。x145x12x5x2x27x10x15x14yx1x1x1x142x159x1x5x2的最小值为9.4当且仅当x1，即x1时等号成立，故函数yx1x12、

用于证明不等式

一系列的推理、论证从而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

①

综合法：一般的，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过

2

例：已知a,b,c0,且不全相等，求证ab2c2ba2c2ca2b26abc证明：b2c22bc,a0,ab2c22abc.a2c22ac,b0,bac222abc

b2a22ba,c0,cb2a22abca,b,c0,且不全相等,上式中至少有一个不取等号，于是有ab2c2ba2c2ca2b26ab②

分析法：证明命题时，我们常常从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立事实，从而得出要证明的命题成立，这种方法叫做分析法。

例：已知a1,a2,,anR,且a1a2an1,1a11a21an2n求证：

1a1证明：a1R,1a1a1,即1a12a12同理，1a22a2

1an2ana1,a2,anR，由不等式的性质，得

1a11a21an2na1a2an3、

用于求取值范围

2nai1时，1aiaai取等号，原式在a1a2an1时取等号。21例：已知x0,y0,且1,若x2ym22m恒成立，求实数m的取值范围.xy214yx4yx解：由已知，x2yx2y()4428,xyxyxy当且仅当4yx，即x4,y2时取等号。xyx2ymin8,要使x2ym22m恒成立，只需x2yminm22m恒成立，即8m22m,解得-4m2.故m范围是（-4,2）

3

4、实际生活中应用

例：某造纸厂计划建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米，水池所有墙的厚度忽略不计。试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。DLCOAMBN

162解：设污水处理池的宽为x米，则长为米。x2162总造价f(x)4002x2482x80162x1296x1296100100100元，1296012961296038880x1296012962xxxx100x0,即x10时，取等号。x当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时，总造价最低，最低总造价为38880元。当且仅当x 函数的最值时函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样性、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关，而基本不等式时解决此类问题有力的工具。只有扎实的掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好的去解决实际应用问题。

参考文献: [1] 引自专著：韩京俊.

《初等不等式的证明方法》哈尔滨工业大学出版社. [2] 引自论文集：杨亚军《基本不等式在求最值中的应用与完善》

[3] 引自专著：肖刚.《

高中数学教与学》浅议均值不等式. 2010（10）. [5] 引自专著：姜建平. 《数理化解题研究：高中版》2012（12）. 例谈基本不等式的运用.

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