2.基本不等式教案1

基本不等式

【教学重难点】

教学重点：理解并熟记基本不等式，以及其变形式，能灵活应用。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

【知识总结】

1、如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取等号“=”）

a2b2推论：ab（a,bR）

22、如果a0，b0,则ab2ab，（当且仅当ab时取等号“=”）. ab2a2b2ab2)（a0，b0）()

推论：ab(；222aba2b2ab(a0,b0)

3、1122ab24. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ①

一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②

二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③

三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【知识运用】

类型一：

通过常数代换或消元法利用基本不等式求最值

11例1：已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

ab

111＋1＋的最小值为________ [思维发散1] 本例的条件不变，则ab

11[思维发散2] 本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________．

ab

21[思维发散3] 若本例条件变为：已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

ab

[思维发散4] 本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

111则＋＋的最小值为________．

abc

[思维发散5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，14使得am·an＝22a1，则＋的最小值为________ mn

[思维发散5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，14使得am·an＝22a1，则＋的最小值为________．

mn

【提示】本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

解：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

11a＋ba＋bba∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2

abababba·＝4，

ab111即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．[答案] 4 ab211a＋ba＋bbaba1＋＝2＋·2＋＝5＋2＋≥5＋4＝[思维发散1]解析：1＋1＋＝1＋abababab19.当且仅当a＝b＝时，取等号．答案：9 21111[思维发散2]解析：由＋＝4，得＋＝1. ab4a4b1ba1ba11＋∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＋＝1. 24a4b24a4b4a4b1当且仅当a＝b＝时取等号．答案：1 212[思维发散3]解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

332112214a4b∴＋＝a＋b＋＝＋＋

ab33ab33b3a4a4b83≥＋2·＝.当且仅当a＝2b＝时，取等号．

33b3a328答案：

3[思维发散4]解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cbcacabbacacb∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋＋＋＋abcabcaabbccabacbc

≥3＋2＋2＋2＝9. 1当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．答案：9 3

[思维发散5]解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2. 14114m－1n－1am·an＝22a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a2⇒2·2＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则＋＝＋(m1mn5mn19n4m1＋n)＝5＋＋≥(5＋24)＝，

55mn5109当且仅当n＝2m＝时等号成立．答案：

35

【总结】

一．利用基本不等式求最值的方法及注意点

(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件

——正数；②验证等号成立．

(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求

最值的条件．

(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替

换，构造不等式求解．

(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一

正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．

2.利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：

(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

题型二

通过配凑法利用基本不等式求最值

51例2 (1) 已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________；

44x－5(2)

若函数f(x)＝x＋

1(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________．

x－2【解析】利用拼凑法，整式部分拼出分式中分母一样的式子，接着按一正二定三取等。

5解析：(1) 因为x<，所以5－4x>0，

4

115－4x＋＋3≤－2＋3＝1. 则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x4x－5当且仅当5－4x＝1，即x＝1时，等号成立．

5－4x1故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 4x－5(2) 因为x>2，所以x－2>0，则

f(x)＝x＋11＝(x－2)＋＋2≥2x－2x－2（x－2）·1＋2＝4，

x－21当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．

x－2所以当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.

题型3

基本不等式与函数的综合应用

x2＋ax＋11例3

（1）已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范x＋1围是________．

2（2）已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．

5【提示】本题利用分离常数法，分离出常数后再利用基本不等式求解最值

8x＋ax＋11解析：对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－x＋＋3.设g(x)＝xxx＋18817178*x＋＋3≤－，

＋，x∈N，则g(2)＝6，g(3)＝.∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min＝.∴

－xx33388∴ a≥－，故a的取值范围是－，＋∞. 331(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，

525x＋2－5x2＝1，

∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤25111∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.

555【总结】本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

2

题型4

基本不等式的实际应用

例4 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．

按设计要求扇环面的周长为30 m，其中大圆弧所在圆的半径为10 m．设小圆弧所在圆的半径为x m，圆心角为θ(弧度)．

(1) 求θ关于x的函数关系式；

(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

【提示】

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

解：(1) 设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，

10＋2x所以θ＝(0＜x＜10)．

10＋x1(2) 花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)．

2装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝3243－x2＋5x＋50x2－5x－50391＝－.令t＝17＋x，则y＝－t＋≤，当且仅当t＝18时取等号，t10170＋10x10（17＋x）101012此时x＝1，θ＝. 11所以当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．