复习参考题教学内容分析

计数原理复习参考题教学设计

教学目标

1、理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步分步乘法计数原理，通过实例，总结分类加法计数原乘法计数原理，解决一些简单的实际问题。

2、通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

3、能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

[复习参考题演练] 1、（1）乘积（a1a2an）（b1b2bn）展开后，共有_____项

（2）学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，求出不同的选法种数

（3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是__________ （4）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是___________ 2、100件产品中有97件合格，3件次品，从中任意抽取5件进行检查，问：

（1）抽取5件都是合格品的抽法有几种？

（2）抽出的5件中恰有2件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的5件至少有2件是次品的抽法有多少种？

2n3、（1）（1x）(nN*)的展开式中，系数最大的项是？

54（2）求展开式中按x的升幂排列的第3项

（1-2x）（13x）（3）已知(1x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n

[课堂小结] 一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一m列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.

1.公式：1.mAnnn1n2……nm1n! nm!

2.

规定：0!1

(1)n!n(n1)!,(n1)n!(n1)!

(2) nn![(n1)1]n!(n1)n!n!(n1)!n!；

nn11n1111(3)

(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)!三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

1. 公式： nn1……nm1Amn!Cnm!m!nm!Ammmn

0 规定：Cn1

mnmmm1m01n

2.组合数性质： CnCn，CnCnCn…Cn2n

1，CnCn…①；②mm；③rrr1rrCn1CnCr1Cr1Cr2；④rrr1rCn1CnCr2Cr2

rrr1Cn1CnCn1注：CrrCrr1Crr2 若Cn1Cn2则m1=m2或m1+m2n

四．处理排列组合应用题

1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：①直接法；

②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；

五．

二项式定理

n1n1n22nrrn 1.(ab)nC0bC2b…Crb…CnnaCnanananb

nrr2.二项展开式的通项公式：Tr1Crb(r0，1……n) na它是(a+b)的二项展开式的第r+1项，而不是第r项；

（r=0的情形不要忽视

） 3二项式定理的应用

①

求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为整数；

②

证明整除或求余数；

③

利用赋值法证明某些组合恒等式；

④

近似计算。

nr 4.二项式系数的性质：（1）对称性：Crr0，1，2，……，n

nCn01n （2）二项式系数和：CnCn…Cn2n

nr

Cn为二项式系数（区别于该项的系数）35024n1 （3）C1

nCnCn…CnCnCn…2（4）最值：

①n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2

1项，二项式系数为Cn；2n1n1②n为奇数时，

(n1)为偶数，中间两项的二项式系数最大即第项及第1项，22n其二项式系数为Cn12nCn12n

5．区分（1）某一项的二项式系数与系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的系数为；而的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为的展开式中的系数就是二项式系数；

，第ｒ＋１项（2）二项式系数最大项与系数最大项

①二项式系数最大项是中间项

Tk1的系数Tk的系数求k。再求②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组Tk1的系数Tk2的系数第k+1项值。

③系数的绝对值最大的项

（abx)n,(a0,b0)二项展开式的系数绝对值最大项的求法，设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值，即由Tk1的系数Tk的系数求r Tk1的系数Tk2的系数注意：（abx),(a0,b0)二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先求系数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负，则它为展开式中系数最小的项

（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和

01n二项式系数和：CnCn…Cn2n

n应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。

注意：f(x)(abx)na0a1xa2x2a3x3akxk①anxn

令x1得：a0a1a2a3令x1得：a0a1a2a3①+②得：a0a2a42①-②得：a1a3a52akakanf(1)n(1）anf(1)②f(1)+f(1)2

f(1)-f(1)2a0f(0)

注意：（1）（abx)n,(a0,b0)二项展开式的各项系数绝对值的和相当于（abx)n,(a0,b0)的各项系数的和。即令原式中的x=-1即可。

（2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

A

B

图1