3.三个正数的算术-几何平均不等式教学评价实录｜教案在线预览

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课题：1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；2．了解基本不等式的推广形式。教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学

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所属课文：3.三个正数的算术-几何平均不等式

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2026-09-20 09:17:37

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学校：邯郸市第一中学

3.三个正数的算术-几何平均不等式教学评价实录

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关键词：3.三个正数的算术…教学评价实录

正文

课题：

1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式

教学目标：

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；

2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题

教学过程：

一、复习回顾：

两个正数的均值不等式是什么？如何推导出来的？适用范围是什么？（学生回答）

二、知识学习：

类比猜想三个正数的算术-几何平均不等式

定理3：如果a,b,cR，那么推广：

abc3abc。当且仅当abc时，等号成立。

3a1a2ann≥a1a2an

。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当333abc时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：

3已知x,y,zR,求证（xyz）27xyz.例1：

因为xyz3xyz0,所以3(xyz)3xyz,27

即3（xyz）27xyz.通过例1得到以下推论

如果a,b,cR,则abc（abc3）.3

111求证：abc91.已知a,b,cR,abc变式训练

注：多次运用基本不等式时注意限制等号成立的多重条件。

例2求函数y2x23(x0)的最小值．

x注意：一正二定三相等

变式2.函数y3x12(x0)的最小值是

(

) 2xA.6

B.66

C.9

D.12 变式3..函y4x216数的最小值是____________ (x21)213例3．求函数yx(13x)(0x)的最大值. 变式4.．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（

）

21632

D、

2727定理：设x,y,z都是正数，则有

⑴若xyzS（定值），

A、0

B、1

C、3则当xyz时，xyz有最小值3s.

⑵若xyzp（定值），

p3.xyzxyz27则当时，有最大值

“和为定值，积最大；积为定值，和最小”. 利用三个正实数的基本不等式求最值时注意：1、一正、二定、三相等；2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定值的技巧（拆项时常拆成两个相同项）。

三、用基本不等式解决实际应用问题

例4

：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，

它的体积最大，求出这个最大值．

由例题，我们应该更牢记

一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

课堂练习见课

五、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题

六、教学后记：

关于本教案的常见问题

Q：3.三个正数的算术-几何平均不等式教学评价实录是什么类型的资料？

A：这是一份教学教案文档，可用于备课、课堂讲解与课后复习，支持在线预览正文内容。

Q：这份教案对应哪篇课文？

A：对应课文《3.三个正数的算术-几何平均不等式》，可从面包屑进入课文目录查看同课其他资料。

Q：如何找到配套课件？

A：页面提供「配套课件/同课文课件」入口；也可进入课文详情页同时查看教案与课件列表。

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