一 数学归纳法教学目标设计

人教A版

高中数学选修4-5 数学归纳法

学习目标: 1．了解数学归纳法的原理及一般步骤；

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；

3．能通过“归纳→猜想→证明”解决一些数学问题．

课前预习案

问题导学：

1.归纳法分为_______________________和_______________________。

2.数学归纳法的定义：

一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）__________________________________________________________ （2）（归纳递推）__________________________________________________________

只要完成（1）（2）这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立．

思考：数学归纳法能解决什么呢？

____________________________________________ 预习自测：

1.用数学归纳法证明12222n12n21(nN*)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为(

) A.1

B.12

C.122

D. 1222

11112.设Sk＝＋＋＋…＋，则sk1为

(

) 2kk＋1k＋2k＋3111A．Sk＋

B．Sk＋＋

2k＋22k＋12k＋21111C．Sk＋－

D．Sk＋－

2k＋12k＋22k＋22k＋11113．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n

) A．1项

B．k项

C．21项

D．2项

4.已知数列an的前n项和Snn2an (n2)，而a11，通过计算a2,a3,a4，

猜想an(

) A.

1 kk2232222

B.

C.

D.

n2212n1(n1)n(n1)

课中探究案

一、典例探究：

类型一

用数学归纳法证明等式

例1：用数学归纳法证明：122334

n(n1)(n2)(nn)2135(2n1)，nN*

变式探究1：用数学归纳法证明：1n(n1)n(n1)(n2)

3

类型二

用数学归纳法证明不等式

111例2 证明不等式1＋＋＋…＋＜2n(n∈N*)．

23n

变式探究2

用数学归纳法证明：11111＜1－(n≥2，n∈N*)．

2222n234n

类型三

用数学归纳法证明数列（归纳——猜想——证明）例3：已知数列an满足snan2n1

(1)写出a1,a2,a3, 并推测an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

2

变式探究3：设a0,f(x)ax，令a11,an1f(an),nN，

ax(1)

写出a1,a2,a3，并猜想出数列an的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论.

二、课堂小结：

三、课堂检测：

11111．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则(

) nn＋1n＋2n11A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

23411C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

234

11111112．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2234n＋1n2n42n时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝(

)时等式成立(

) A．k＋1

B．k＋2

C．2k＋2

D．2(k＋2) 11113．用数学归纳法证明：1＋2＋2＋…＋2<2－(n∈N＋，n≥2)．

23nn

4. 已知数列an满足an11，a10

2an(1)写出a1,a2,a3，并猜想出数列an的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论.

3

课后巩固案

11．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为2n(n－3)条时，第一步检验n等于(

) A．1

B．2

C．3

D．0 *2.已知{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N，且a1＝2，则a2＝__________，

a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________.

3．若n为大于1的自然数，求证

4.用数学归纳法证明：11113

n1n22n2411n1n215 (n2,nN*).

3n6

能力提升

5.设平面内有n条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线不共点．若k条直线将平面分成f(k)个部分，k＋1条直线将平面分成f(k＋1)个部分，则f(k＋1)＝f(k)＋__________.

n26.用数学归纳法证明2n (n5,nN).

4