小结优质课一等奖

§3.4基本不等式

abab

2(1)

学习目标

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

学习过程

一、课前准备

看书本97、98页填空

复习1：重要不等式：对于任意实数a,b，有a2b2____2ab，当且仅当________时，等号成立.

复习2：基本不等式：设a,b(0,)，则号.

ab_____ab，当且仅当____时，不等式取等2二、新课导学

※

学习探究

探究1：基本不等式ab

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图ab的几何背景：

2

案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________

结论：一般的，如果a,bR，我们有a2b22ab

当且仅当ab时，等号成立. 探究2：你能给出它的证明吗？

特别的，如果a0，b0，我们用a、b分别代替a、b，可得ab2ab，

通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)

2ab？

2

问：由不等式的性质证明基本不等ab用分析法证明：

证明：要证

abab

(1) 2只要证

ab

(2) 要证（2），只要证ab____0

（3）

要证（3），只

要证(__________)20

（4）

显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.

3）理解基本不等式ab

ab的几何意义

2探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式ab

结论：基本不等式ab

评述：

1.如果把ab的几何解释吗？

2ab几何意义是“半径不小于半弦”

2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定2理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还

2可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

※

典型例题

例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

.

※

动手试试

练1. x0时，当x取什么值时，x

练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？

1的值最小？最小值是多少？

x三、总结提升

※

学习小结

在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.

※

知识拓展

两个正数x,y

11．如果和xy为定值S时，则当xy时，积xy有最大值S2. 42. 如果积xy为定值P时，则当xy时，和xy有最小值2P.

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 已知x0，若x＋81的值最小，则x为（

）. xA．

81

B．

9

C．

3

D．16

2. 若0a1，0b1且ab，则ab、2ab、2ab、a2b2中最大的一个是（

）. A．ab

B．2ab

C．2ab

D．a2b2

3. 若实数a，b，满足ab2，则3a3b的最小值是（

）. A．18

B．6

C．23

D．32

4. 已知x≠0，当x=_____时，x2＋81的值最小，最小值是________. x25. 做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.

课后作业

1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

2. 一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？