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计数原理复习题

副标题

题号

得分

一

二

三

总分

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

A. 12种

B. 18种

C. 24种

D. 36种

【答案】D

【解析】解：4项工作分成3组，可得：

，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：

种．

故选：D．

把工作分成3组，然后安排工作方式即可．

本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．

2.

如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案

A. 180种

B. 240种

C. 360种

D. 420种

【答案】D

【解析】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有

种，

若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；

或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有

种，

若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有

种，

故最多有

种栽种方案，

故选D．

若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有

种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法

有

种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有

种，相加即得所求．

本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

3.

甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有

种

用数字作答

．

A. 720

B. 480

C. 144

D. 360

【答案】B

【解析】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得

种，

甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，

甲、乙均在丙的同侧，有4种，

甲、乙均在丙的同侧占总数的

不同的排法种数共有

种．

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故选：B．

甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的

，即可得出结论．

本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．

4.

从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为

A. 48

B. 72

C. 90

D. 96

【答案】D

【解析】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，

分2种情况讨论：

、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有

种情况，

、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，

在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有

种选法，

则此时共有

种选法，

则有

种不同的参赛方案；

故选：D．

根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，

、选出的4人没有甲，

、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．

5.

有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法

A. 种

B. 240种

C. 480种

D. 960种

【答案】D

【解析】解：先排5位学生，有

种坐法，

2位教师坐在一起，将其看成一个整体，可以交换位置，有2种坐法，

将这个“整体”插在5个学生的空位中，又由教师不能坐在两端，则有4个空位可选，

则共有

种坐法．

故选：D．

先排5位学生，由排列公式可得其坐法数目，要求2位教师坐在一起，用捆绑法，插入到5个学生符合要求的4个空位中，易得其有

种坐法，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的运用，关键在于掌握常见的问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．

6.

从1，3，5中选2个不同数字，从2，4，6，8中选3个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为

A. 5040

B. 1440

C. 864

D. 720

【答案】C

【解析】解；先从2，4，6，8中选3个不同的数字，共有4种选法，从1，3，5中选2个不同数字，共有3种，再从3个偶数中选一个排在末尾，共有3种，最后对剩余4个数全排列，共有

种方法，则这些五位数中偶数的个数为

，

故选：C．

先选后排，根据分步计数原理可得．

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本题考查加法原理和乘法原理的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

7.

为了迎接一年一度的元宵节，某商场大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A. 1190秒

B. 1195秒

C. 1200秒

D. 1205秒

【答案】B

【解析】解：根据题意，共有5种不同的颜色，其闪烁的顺序有

个不同的闪烁，

而每个闪烁时间为5秒，闪烁的时间共

秒；

每两个闪烁之间的间隔为5秒，闪烁间隔的时间

秒．

那么需要的时间至少是

秒．

故选：B．

根据题意，先依据排列数公式计算彩灯闪烁时间的情况数目，进而分析可得彩灯闪烁的总时间以及闪烁之间的间隔总时间，将其相加即可得答案．

本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．

8.

在

的展开式中，

的系数等于

A. 280

B. 300

C. 210

D. 120

【答案】D

【解析】解：在

的展开式中，

项的系数为

．

故选：D．

根据题意，利用组合数的性质即可得出结果．

本题考查了二项式定理、组合数的性质与应用问题，是基础题目．

9.

已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有

A. 120种

B. 81种

C. 72种

D. 27种

【答案】D

【解析】解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A、B两个房间排列有

，

三个大人一人一间，两个孩子在A住有

种住法，

空出C房间，两个大人住A，一个大人住B有

种住法，

第四两个大人住B有

种住法，

综上所述共有27种住法，

故选D 安排住宿时要分四种情况，第一，三个大人一人一间，小孩在A、B两个房间排列，第二，三个大人一人一间，两个孩子在A住，第三空出C房间，两个大人住A，一个大人住B，第四两个大人住B，列出算式，得到结果．

本题考查的是排列问题，并且元素的要求很多，把排列问题包含在实际问题中，解题的

关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

10.

若

，则

______ ．

【答案】121

【解析】解：令

，则

；

再令

，则

，

，

故答案为：121．

在所给的式子中，分别令

、

，可得则

的值．

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．

11.

从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______ 种不同的选法

用数字作答

【答案】660

【解析】解：第一类，先选1女3男，有

种，这4人选2人作为队长和副队有

种，故有

种，

第二类，先选2女2男，有

种，这4人选2人作为队长和副队有

种，故有

种，

根据分类计数原理共有

种，

故答案为：660 由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可

本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题

12.

若

的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是______．

【答案】7

【解析】【分析】

本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别

根据题意，则

，可得

的展开式中只有第5项的二项式系数最大，

的二项展开式，令【解答】

，解得

，将其代入二项展开式，可得答案．

解：根据题意，

的展开式中只有第5项的二项式系数最大，

则

，

则

的二项展开式为：

，

令

，解得

．

则其常数项为7．

故答案为7．

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13.

某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种

【答案】30

【解析】解：因为甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，

2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：

、

种；

1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：

、

种；

所以，选派方案共有

种．

故答案为30．

甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．

本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．

三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）

14.

已知二项式

的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：

Ⅰ

求n的值；

Ⅱ

求展开式中含

的项；

Ⅲ

计算式子

的值．

【答案】解：

Ⅰ

依题意，

：

：5，即

，解得

；

Ⅱ

由

Ⅰ

知

．

由

，得

，

展开式中含

的项

．

Ⅲ

令

得

．

【解析】

Ⅰ

依题意，

：

：5，即可求n的值；

Ⅱ

写出通项，令x的指数为3，即可求展开式中含

的项；

Ⅲ

令

得

．

本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想．

15.

三个女生和五个男生排成一排．

如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？

如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？

如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？

【答案】解： 女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5

个男生全排，故有

种；

女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有

种；

两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有

种；

男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有

种，

三个女生站在前排，五个男生站在后排，

种

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【解析】根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．

本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．

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