小结课时教案

第三章

不等式小结

教学设计

从容说课

通过投影仪展示实际情景，让学生感受现实世界中存在的大量不等关系，理性建立不等观念.复习本章所研究的三种不等式模型：一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式abab，回忆不等式的基本性质，一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求2解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.利用几何背景分析基本不等式abab

的应用条件，一正、二定、三等.回忆从三种角度对基本不等式的证明及对2基本不等式展开的一些简单应用，用数形结合的思想理解基本不等式.本节课对具体例题的分析和求解过程中，设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解不等式的基本性质，一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，进一步深刻理解利用基本不等式证明一些简单不等式的方法与思路，巩固强化基本不等式abab

的应用.以便更好地培养学生学习数学的兴趣与解决问题的能力.通过类比、2直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神

就学生的学习状况，知识结构与能力水平而言，抽象的推理、归纳是难点，而以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养是高中教学的一项长期任务

根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究、引导学生积极参与，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助

教学重点

1.经历实际情景，复习本章所研究的三种不等式模型，一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式；

2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；

3.进行一些简单不等式的证明

教学难点

1.证明一些简单的不等式；

2.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系并能够灵活应用教具准备

实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标

一、知识与技能

1.通过实际情景，复习本章所研究的三种不等式模型，一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式abab；

22.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；

3.进行一些简单不等式的证明二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的世界观

教学过程

导入新课

师

前面我们已经系统地研究了第三章不等式的内容.从本节课开始，我们的将对第三章不等式所研究的知识与思想方法进行回忆和复习，并展开一些应用(此时，老师用投影仪给出同学们已研究过的一个具体问题二次函数y=x-5x的对应值表与图象如下：

2

x

y

-1 6 0 0 1 -4 2 -6 3 -6

4 -4 5 0 6 6 师

请同学们由图说出函数值y与自变量x的对应关系生

当x=0或x=5时，y=0，即x-5x=0；

当0＜x＜5时，y＜0，即x-5x＜0；

当x＜0或x＞5时，y＞0，即x-5x＞ 222

师

结合此实例，请同学们描述一下二次函数、一元二次方程与一元二次不等式有什么关系呢？

生抛物线y=x-x-6与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x

-5x=0的解就是x1=0，22x2=5.一元二次不等式x 2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5},一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞［教师精讲］

师

由一元二次不等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax

+bx+c＞0或ax

+bx+c＜0（a＞0）的形式.一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集

22

师

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

(此时，老师用投影仪给出下列草图

生

对于一元二次方程ax+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax

+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如上图），因此，对相应的一元二次不等式ax

+bx+c＞0或ax

+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论

22222师

这位同学回答得非常好.下面请你具体得描述一下2生

(1)若Δ＞0，此时抛物线y=ax

+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax22+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x

2（x1＜x

2）,则不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的

解集是{x|x＜x1或x＞x2}；不等式ax

+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x

222

(2)若Δ=0，此时抛物线y=ax

+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax

2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x

2=-b2,则不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是2a

2{x|x≠-b2}；不等式ax

+bx+c＜0（a＞0）的解集是2a22(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax

+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax

+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax

+bx+c＜0（a＞0）的解集是

2(此时，老师用投影仪给出下列草图，并让学生填空) Δ=b-4ac 二次函数

2Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 y=ax2+bx

(a＞0)的图象

ax2+bx+c=0的根

bx1,2= 2a

x1x2b

2a



ax2+bx+c＞0的解集

ax2+bx+c＜0的解集

师

对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，我们又如何求解呢？

生

对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 师

我们还可以归纳出解一元二次不等式的程序.归纳如下：（此时，老师用投影仪给出，让学生回忆）

（１）将二次项系数化为“+”：A=ax+bx+c＞0(或＜0)(a＞（２）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：

①Δ＞0时，求根x

1＜x 2， 2

若A＞0,则x＜x1或x＞x2;若A＜0,则x1＜x＜x2.

若A＞0,则xx0的一切实数;②Δ=0时，求根x1=x 2=x0，若A＜0,则x; 若A0,则xx.0③Δ＜0时，方程无解，若A＞0,则xR;若A0,则x.

（３）写出解集

用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来(学生自己完成

师

同学们对前面所研究的内容掌握得非常好.下面我们就来看几个具体应用

(此时，老师用投影仪给出下列例题［合作探究］

【例1】已知集合A={x｜x+2x-8＜0},B=｛x｜｜

x+2｜＞3｝,C=｛x｜x-2mx+m-1＜0,m∈R｝.若（1）A222

A∩B分别求出m的取值范围

（让两位同学上黑板板演，教师作点评）解：(１)∵A={x|－4＜x＜2}，B={x|x＞1或x＜－5}，C={x|m－1＜x＜m＋1}，

欲使A，只需m-1≥2或m+1≤-

∴m≥3或m≤－(2)欲使A∩B只需A∩B={x｜1＜x＜2}，

m11,m2,即即m12,m1,师

这两位同学完成得很好.请同学继续思考下面的例［例题剖析］

师

此例中不等式是一元二次不等式吗？

生

不是一元二次不等式，应转化为一元二次不等式来考虑（让两位同学上黑板板演，教师作作评）

ax＜1的解集为｛x｜x＜1或x＞2｝,求a

x1ax(a1)x1＜1化为＜0,即［解法一：将（a-1）x+1］(x-1)＜x1x1【例2】

不等式由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，

∴ [(1－a)x－1](x－1)＞∴(1-a)x-1＜0,x＞解得a

112,于是有a1a1122

解法二：原不等式转化为 [(a－1)x＋1](x－1)＜即（a-1）x+(2-a)x+1＞

依题意,方程（1-a）x+(a-2)x+1=0的两根为1和2

12,11a∴解得a2a23.a1

师

这两位同学完成得非常好.请下面的同学仔细观察这两位同学的解法，和自己的解法作比较，可以互相交流

（留三分钟的时间让学生合作交流）

师

前面我们还利用实际背景分析得出基本不等式ab什么？如何应用？

ab,对它的应用我们要注意些2生

应用时要注意“一正、二定、三等”，对它的应用要注意创设和它类似的结构特征师

回答得非常好，都能说出应用的要点.下面我们就来看几个以不等式的基本性质及基本不等式abab为基础的证明问题2

(此时，老师用投影仪给出下列例题2222【例3】已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤（ab)(cd)［方法引导］

师

请同学们思考，要证明的不等式是否能用基本不等式来证明？

生

可以.(a+b)(c+d)=ac+ad +bc+b

d=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+a

d2222222=(ac+bd) +(bc-ad)≥(ac+bd).∴（ab)(cd)≥|ac+bd|≥ac+b22222222222222222222

故命题得证

师

这位同学回答得很好.证明过程很详细.同学们是否还有其他的证明思路？

生

可以由条件到结论来证明.对两边平方师

能直接平方吗？

生

由不等式的性质知，需要讨论.(1)当ac+bd≤0时,显然成立.(2)当ac+bd＞0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)≤(a+b)(c+d )，即证a

c+2abcd+bd≤a

c+a

d+bc+bd， 即证2abcd≤bc+a

d，即证0≤(bc-ad).因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立.综合(1)(2)可知原不等式成立

2222222

222222222222222

师

这位同学回答得很好.证明过程也很详细.同学们是否还有其他的证明思路？

生

可以用作差的思路证

明.∵(a+b)(c+d)-(ac+bd)22222bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.∴

（a2b2)(c2d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤（a2b2)(c2d2)师

同学们用三种方法证明此不等式，这说明同学们对不等式的证明掌握得很好，思维很灵活.希望同学们在课后研究问题时也要注意一题多解，一题多思，这样能够训练思维的深度和广度课堂小结

师

本节课我们复习了哪些知识、方法？同学们用这些知识、方法解决了什么问题？通过本节课的复习，同学们又有什么收获呢？

生

我们通过本节课的复习，对本章三种不等式模型：一元二次不等式、二元一次不等式组、基本不等式ab

ab有了更深刻的认识，并且以不等式的基本性质为基础，能熟练地2解一元二次不等式.对给定的一元二次不等式，能够尝试设计求解的程序框图.能够进行一些简单不等式的证明

师

同学们总结得很好.通过本节课的复习，我们还应当掌握证明一些简单的不等式的基本思路.应深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系并且能够灵活应用.同时去体会数形结合思想对解题的指导作用布置作业

课本第116页复习参考题，Ａ组2、3,Ｂ组４

板书设计

本章复习（一）

一元二次不等式：

题组

二元一次不等式组： 例 方法归纳

基本不等式： 方法引导 小结

abab. 实例剖析（知识方法应用）

2示范解题

习题详解

一、备用公式、定理

1.重要不等式：

如果a,b∈R,那么a+b≥2ab(当且仅当a=b时取22

2.定理：如果a,b是正数，那么ab≥ab(当且仅当a=b时取2

ab2a2b23.公式的等价变形：ab≤,ab≤（）224.ba≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝ab+333

5.定理：如果a,b,c∈R，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”）6.推论：如果a,b,c∈R ，那么二、阅读材料

初等数学中的不等式证明方法集锦

1.配方法

+abc3abc（当且仅当a=b=c时取“=”）3把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的2.判别式法

通过对所证不等式的观察、分析、构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证

3.比较法

为了证明A＞B，可转化为证明

A-B＞0或者当B＞0时转化为证明4.分析法

分析要证明的结论的特征，对其进行等价转化，使之与已知条件的联系更加密切5.综合法

利用一些现成的结论（比如重要不等式），从已知条件直接入手，逐步得到要证明的结论. 在实际证明过程中，分析法和综合法常结合使用6.放缩法

为了证明A＜B，可设法证明A＜C，且B＜A.有时也可考虑证明加强命题7.数学归纳法

常用来证明与正整数有关的命题8.构造法

构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来

A＞1B