引言优秀获奖教案

重视亲历与探究，注重数学思维能力的培养

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“绝对值三角不等式"教学设计

吉林省敦化市实验中学

数学组 魏云凤

引言：在自然界中，等量关系和不等量关系是普遍存在的。描述等量关系可以用等式，描述不等量关系可以用不等式。与等量关系一样，不等关系也是数学研究的重要内容。所以，研究不等关系和不等式，既是数学研究的重要方面，也是我们认识世界的重要途径。本节课以“绝对值三角不等式”为例，使学生在学习的过程中，注意理解不等式的背景（特别是几何背景）及其蕴含的数学思想。本节选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修4—5》(人教A版)第1讲“不等式和绝对值不等式”第3课时，绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义。绝对值三角不等式既是一个基本的结论，又是知识承上启下的一个生长点。承上：学生在初中里就已经接触和学习了绝对值的定义与几何意义，这里继续沿用；启下：绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法。这节课的重点应是对定理1的发现、探究等知识体系的生成过程．

数学教育家波利亚说：教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么却更是千百倍的重要，思想应当在学生的脑子里产生出来，而老师仅仅是一个助产婆的作用。老师的任务是设计出有效的教学活动，给学生创设良好的思维场景，给学生充足的思维时间，给学生宽松的展示平台，给学生欣赏数学精彩的视觉。还课堂于学生，还时间于学生，实现有效教学、高效教学，倡导学生自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式。因此，结合本节课的内容特点，我将本节课堂模式设计为数学探究课，采用探究、自主学习的探究式及小组合作学习方式，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的能力。从学生最近发展区开始设置问题与情境，即从绝对值定义和几何意义开始设置问题，铺设情境，然后通过“探究1一探究2一探究3"问题串的形式引导学生进行探究式学习，教学过程中遵循学生的认知规律，让学生在自我发现、自主探究、合作交流的过程中感受知识与方法，通过探究知识的发生发展过程，增强学生的认知力，同时促进学生构建完整的知识体系。

课题

学校

绝对值三角不等式

吉林省敦化市

实验中学

授课人

课型

授课地点

新课

敦化市实验中学

魏云凤

知识与技能

了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式的推导方法，进行简单应用. 教学目标

过程与方法

通过对绝对值三角不等式的探究与证明过程，渗透学生观察、类比、猜想、分析、证明的数学思维方法；通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用．

体验不等式的美感，提高推理能力，同时培养学生合作与交流的情感态度与价值观

能力，增强学习兴趣；能运用所学的知识，正确地解决实际问题．

教学重点

教学难点

教学方法

教学环节

定理1的生成与应用

定理1的证明与完善

小组合作，互动探究

教学内容

高中阶段关于含绝对值问题的考查主要有三大类：

1、解绝对值不等式；

师生活动

问题的提出：通过类比绝对值乘除运算性质，猜想加减运算是否也有类似的结论。

学生猜想：

设计意图

通过类比，形成思维冲突，鼓励大胆猜想，激发

学生探究学习的兴趣。

通过学生自己观察、类比猜想得出结论，让学生体会由特殊到一般的思维方法。

把“距离大小”

作为解决绝对值不等式的出发点，通过复习旧知为后面的几何探究作铺垫。

引

入

abab2、证明绝对值不等式；

3、求含绝对值函数的最值问题

针对第二类、第三类问题的解决，常常会应用到一个非常重要的公式，也就是本节课我们要学习的绝对值三角不等式。

提问：怎样证明该猜想的正确与否呢？

引导：“绝对值的几何意义”是我们研究绝对值不等式的重要工具。

生：复习旧知

绝对值的定义及几何意义。

引导：

自

主

探

究

探究1：利用绝对值的几何意义研究

abab 充分利用已有知识对未知知识进行探究，数形结合，培养学生分析问题、解决问题的能力。

注意向量工具性的体现。这个过程体现“联系”的思想，使学生从不同角度观察、研究同一个问题，这有利于学生深刻理解和掌握绝对值不等式．公式结构上认识清楚，才能更好应用，利用向量背景方便记忆。

体会数学中代数证明的严谨性，掌握不等式证明的方法。

ab

与ab之间的关 bb

系。

小组合作探究，教师组织小组派代表展示，其余学生评价

教师补充：强调不重不漏

结论：如果a,b是实数，则abab，当且仅当ab0时，等号成立。

教师补充：强调等号成立条件

建

构

数

学

探究2：将实数a,b分别换成向量

小组合作探究，小组派代表展示，学生评价

教师补充：关于向量不等式可以看成绝对值三角不等式的几何背景，一维扩展到二维

从“数”上，二者均表示非负实数；从“形”上，二者均表示一段距离。由于该绝对值不等式与三角形之间这种联系，所以称之为绝对值三角不等式。

学生思考，独立完成，展示不同解决方法

学生评价：指出所用数学思想方法

法一：分类讨论、放缩

法二：分析法

a,b，你能得出什么结果，你能解释它的几何意义么？

提问：绝对值与模二者之间有怎样的联系？

探究3：你能给出严谨的代数证明么？

定

理

完

善

教师引导：由于a,b取值任意，这个问题设计处在学生的最

近发展区，意在教会学生自己

提出探究问题

和研究问题的方法，学生通过自主探究获得结论和证明。

让学生体验定理1的作用，也认识到定理2可看成定理1的一个推论，且更具有一般性。

数学来源于生活，又回归应用于生活。从具体实例中抽象出数学模型，然后对问题进行变式，更好应用。

采取让学生开放式小结的形

式，不同的学生应有不一样的收获。然后从知

识点、思想方法和数学研究的一般方式上加以总结。

提问：ab与ab二者之可以用任意代数式进行替换。

组织学生说明讨论结果并加以完善：

间有怎样的不等关系？用b去替换b有怎样的结论？

ababab

学生独立思考，回答

例1：如果

a,b,c是实数，那么

教师补充：本例为书上定理2，实际上是定理1的一般化，定理1可看作是

b

acabbc.当且0时的特例。

知

识

应

用

小

结

仅当

abbc0时，等号成立。

例2：两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

这节课我们按照怎样的思路研究问题的？

学习到了哪些数学思想及方法？

学生独立思考，写出函数解析式

提问：求该含绝对值函数最值问题的方法

学生思考并回答

师生共同对方法进行总结，对其优良性进行评价。 适当给解析式进行变式，总结求含绝对值函数最值问题的一般方法及能应用绝对值三角不等式解决的函数类型。

猜想——几何证明——向量推广——代数证明——定理完善——应用

数形结合、分类讨论、放缩、分析法等

作

业

1、求证：

巩固本节所学知识，培养学

生自主学习的习惯。

1xaxbab

2abab2b

2、求证：

1xaxbab

2xaxbab

3、若不等式

：

xax21对任意的实数x均成立，求实数a的取值范围.

4、探究定理推论中各等号成立的条件.