1.3 二项式定理（通用）名师教学视频（文字实录）

二项式定理

学习目标：

1、二项式定理的内容及相关概念

2、二项式的系数与項问题

3、二项式定理的应用

考情分析：

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

教学重点：二项式定理

教学难点：二项式定理的应用

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点1

二项式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．

其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．

n－rrn－rr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb. nana考点

2

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.[来源:Zxxk.Com]

1n－1(4)二项式的系数从C0，Cnn，Cn，一直到Cnn. 考点3

二项式系数的性质

n－r(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn. (2)增减性与最大值：二项式系数的后半部分是逐渐减小的；

Ckn，当n＋1k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它2n当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；

2n－1n＋1当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值．

2n2n012nn(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Crn＋…＋Cn＝2；

02413n－1Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋C5. n＋…＝2三、例题精析

【例题1】

【题干】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 【解析】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. －1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. 2－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. 2(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，

a5，a7小于零，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 18 【例题2】【题干】若x－2x2a6展开式的常数项为60，则常数a的值为________ 【解析】二项式x－xa66－r6－3r展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr(－a)rx－2r＝Cr(－a)r，当6x6x2r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C6a＝60，解得a＝4. 2x－7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答) 【例题3】【题干】

xx

2227－rx－7的展开式中x3的系数，x－7的通项Tr＋1＝Cr－r【解析】原问题等价于求x7xxx7－2r27＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C27x7＝84，即xx－x的展开式中x4的系数为84. 四、课堂运用

【基础】

12x－6的展开式中的常数项是(

) 1．二项式xA．20

B．－2

C．160

2．设5x－

D．－160 1n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则x展开式中x的系数为(

)．

A．－150

B．150

C．300

D．－300 【巩固】

3．在(x－2)2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于(

)．

A．23 008

B．－23 008

C．23 009

D．－23 009 4、设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________ 1x＋3n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________. 5．已知(1＋x＋x2)x