1.3 二项式定理（通用）第二课时教案

二项式定理（第1课时）

一目标

目标：

（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．

（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．

（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．

目标解析：

（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．

（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．

（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．

基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．

二、教学分析

1．教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．

2．教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开

式中项与项的异同点，得出(ab)n的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容．

3．教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题．学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程．二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大．较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明．解决方案：通过对(ab)3的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画．

基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律．

三、教学策略

本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用TI-图形计算器．既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．

在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．

在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．

五、教学过程与设计

教学环节

回

顾

前

知

引

问题或任务

师生活动

教师1：

提出问题1．

学生1：学生思考．

教师2：提出问题2．

学生2：学生思考．

教师3：观察(ab)1、(ab)2、(ab)3、

设计意图

问题引入．

[问题1]有人说

(1x)70的展开式中

有x47项，你认为对

吗？若有，它的系数是多少？

出

(ab)4、(ab)5的展开式，你能得到哪些规

猜

[问题2]为了解决问题律？

提出问题．

想

1，需要用到(ab)n的展开，你认为这个展开式式会怎样呢？

学生3：利用图形计算器CAS的expand()函数，

得出(ab)3、(ab)4、(ab)5的展开式．

引导学生通过对特殊情形的观察，归纳猜想一般情形的基

本特征．

教师引导，教师4：根据你所计算的结果，填对应表格．

学生根据所得具体的展开式，从展开式中的项数、项的次数、项的系

数等角度进行归纳，并根据归纳所得猜想一般的展开式的学生4：发现项数、项的次数、项的系数并猜结果．

学生体会由想：

特殊到一般的归纳猜想(ab)n0an1an1bkankbknbn的过程．

教师5：提出问题3．

学生5：引起思考，并提出想法．

教师6：提出问题：

一般问题回到特殊情形进行研究．

把问题回到已知的结构

[问题3]

猜想一：(ab)n0an1an1b

kankbknbn33223在(ab)0a1ab2ab3b探

寻

中的k？

中，为什么“01，13，23，规

律

31”？

获

学生6：展开式计算，寻找答案．

得

教师7：提出问题：

结

(ab)3与(a1b1)(a2b2)(a3b3)是什么论

进行处理．

学生6：当a1a2a3a,b1b2b3b

3时，(a1b1)(a2b2)(a3b3)(ab)．

教师7：提出问题：

探究(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式的特

点．

学生通过计学生7：利用图形计算器的CAS功能中算器得到计算结果．

expand()函数，得出(a1b1)(a2b2)(a3b3)的

展开式．

教师通过引教师8：引导学生分析(a1b1)(a2b2)(a3b3)导学生对展展开式的各项，并提出问题在展开式中为什么开式各项构成的观察，没有a1b1a2项，a1a2等项？

得到项的构学生8：

学生根据所得的计算结果，观察得到成．

展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每

个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的．

教师9：通过表格呈现特殊(ab)3与

(a1b1)(a2b2)(a3b3)的展开式的

并提出问题：

(ab)30a31a2b2ab23b3中，

为什么13？

关系？

通过特殊与(a1b1)(a2b2)(a3b3)展开式中的项a1a2b3，一般的项的关系对比，a1b2a3，b1a2a3去掉足码得到

aab，aba，baa得到对系数后合并同类项得到．从三个括号中的一个括号意义的理选择“b”剩余两个括号选择“a”构成的，解．

因为从三个括号中的一个括号选择“b”，一旦

确定哪个括号选“b”，剩余两个括号选择也就

确定了，因为“b”有三种选择，所以对应同

类项的个数就为3，即“a2b”的系数为3．

根据展开式教师10：能否用计数模型进行解释？

系数即同类学生10：“a2b”可以看成是从三个括号中选项的个数这择一个括号选“b”

，剩余两个括号选择“a”，一结论，引完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可导同学们通分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一过一般到特殊，用组合1个括号选“b”，有C3种选择；第二、剩余两计数模型对各项系数进21种选法，故有个括号选择“a”就C2行研究．

111C31C3种选法，所以，1C3．依此可以

得到其它系数的组合数形式：

031233(ab)3C3aC3abC32ab2C3b．

得到展开式系数的猜教师11：根据所得(ab)3展开式的规律，你想．

学生9：

(ab)3展开式中的项3a2b是由能否得猜想(ab)n的展开式中0,1,,k,,n的值？

学生11：

0n1n1knkk(ab)nCnaCnabCnabnnCnb

由归纳猜想到理论证

证

[问题3]

你能证明

教师12：提出问题3．

明

定理

明晰概念

(ab)n0n1n1CnaCnab学生12：提出想法．

教师13：你认为证明问题3，关键是几步？

学生13：（1）项的结构；（2）项的系数．

教师14：证明：(ab)n是n个(ab)相乘，根据多项式的乘法，展开式每一项都满足．

ankbk（k{0,1,,n}）对项ankbk（k{0,1,,n}）看成问题：

从n个括号中选择k个括号选“b”

，剩余括号选择“a”，相乘而成．可这样设计计数模型，要做这件事，可分成两步来完成：

第一、从n个括号中选择k个括号选“b”，有kCn种选择；

nk第二、剩余括号选择“a”就Cn

k1种选法，CnkankbkCnnbn(nN)吗？

k1Cnk种选法．

根据分步计数原理有Cn

[问题4]

从数列的角度看二项式展开式，你能获得什么认识？

k所以，项ankbk的同类项有Cn，故ankbk的k系数为Cn（k{0,1,,n}）．

所以，(ab)n展开式每一项满足Cna（k{0,1,,n}）．

knkkb教师15：上述公式叫二项式定理，展开式共有kn1项，其中各项的系数Cn（k{0,1,,n}）叫做二项式系数．

教师16：提出问题4．

学生14：

二项展开式可以看成是一个数列的knkkab，表示数列第和，数列的通项公式是Cnk1项．

明．

引导提炼学生提炼证明要点．

强调规范表达．

明晰概念．

学生从数列的角度获得对二项式展开式的再认识．

[问题5]你能根据

(ab)n的展开式得出教师17：二项式展开式的通项是展开式中第knkkk1项：Tk1Cnab．

学生15：

根据二项式定理，把(ab)n化成(ab)n的展开式吗？

[课堂练习1] (1)求(1x)n的展开[a(b)]n的形式，把此式子中的“b”看成二项式定理中的“b”即可得到结论（写出具体展开式）．

教师18：布置课堂练习1、2．

式；

学生16：完成课堂练习，并通过计算器核对答16)的展案．

(2)求(2xx

开式．

[课堂练习2]

19求(x)展开式中x3x

的系数．

[问题6]

你从二项式教师19：提出问题6．

师生共同回

定理的发现、证明与应学生17：本节课获取二项式定理的过程：先由顾总结．引

用的过程中体会到一领学生感悟345(ab)(ab)(ab)特殊察、、的展开式猜

些什么？

数学认知的

过程，体会n(ab)想一般的展开式项的结构，再通过对特

数学核心素

养．

3n(ab)(ab)殊形式展开式项的研究得到的

展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂展

课

示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过

堂

特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过

小

程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，体

结

现了数学逻辑推理；最后，得到结论后，要以

此为模型进行应用，体现了数学模型的应用．

[课后练习]

升

6(x1)1．写出的展开华学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．

课后练习是认

对定理巩式．

知

固，思考练1n3

2．写出(x3)的

习是对本节2x

让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型的在数学应用中的价值．

[课堂练习1]

熟悉二项式定理模型．

[课堂练习2]让学生体会用通项公式表示展开式的简洁性．

展开式的第r1项．

[课后思考]

(abc)3的展开式1．为

．

2．请同学们观察下表（我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表），你有什么发现？

知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．