2.基本不等式优质课教学设计

1.2基本不等式：abab

2教学目标：理解基本不等式的意义、证明和几何意义，能够运用基本不等式解决一些应用问题。

教学重点、难点：两个不等式的证明和区别，正确运用基本不等式；理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵，注意运用不等式求最大(小)值的条件. 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的；比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,有什么结论？ 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点时，有a2+b2=2ab；

一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，如果a>0,b>0,用a,b分别代替a,b，得 a+b≥2ab

通常上式写成ab≤称为基本不等式。

证明：作差法或分析法。

要证: 即②

要证②,只要证

ab

0 abab(a0,b0) ①

2ab(a0,b0)，当且仅当ab时取等号，2证

ab

③[来源:学.科.网]

要证③,只要证

(

-

)2

0 ④

显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立

探究:(课本P98)如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 ab表示圆的半经，ab表示半弦长CD,得到不2ab等关系：ab≤(a0,b0)，几何意义：半弦长不大于半径长。

2发现：说明：1）我们称a

＋b2

为正数a，b的算术平均数，称ab

为正数a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a＋b≥2ab和

2

2a

＋b2

≥ab

成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义：当ab时，等号成立，其含义是：如果ab那么abab

2 仅当ab时，等号成立，其含义是：如果abab那么ab

2ab等价于 综合起来：其含义是：abab

24）数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项

代数意义：几何平均数小于等于算术平均数

例1 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的

长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy100,

篱笆的长为2（xy）m 由

xyxy，可得 xy2100, 2（xy）40

2y时成立，此时xy10，因此，这个矩形的长、等号当且仅当x宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m xy=18， (2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（xy）=36，矩形菜园的面积为xy由

xym2，

xy时成立，此时xy9 xy189,可得

xy81,可得等号当且仅当22因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2

变式：用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

解法一、解：设BC=x

，CD=y

解法二、解：设AB=x

，BC=24－2x

， 过程略

定理：已知x,y都是正数，则

②

如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p

②如果和xy是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2

小结：

1.

两个重要的不等式

一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，如果a>0,b>0,用a,b分别代替a,b，得 a+b≥2ab

2. 利用基本不等式求最值

（1）和为定值，求积的最大值；

（2）积为定值，求和的最小值。

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