2.1.2 演绎推理教学设计内容推荐

第1讲

合情推理与演绎推理

最新考纲

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

知

识

梳

理

1.合情推理

类型

定义

根据一类事物的部分对象具有某种性归纳推理

质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理

根据两类事物之间具有某些类似(一致)类比推理

性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断. 诊

断

自

测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

由特殊到特殊

特点

由部分到整体、由个别到一般

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(

) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(

) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(

) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(

) 解析

(1)类比推理的结论不一定正确.

(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.

(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(

) A.28

B.32

C.33

D.27 解析

5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，

推出x－20＝12，所以x＝32. 答案

B 3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(

) A.结论正确

B.大前提不正确

D.全不正确

C.小前提不正确

解析

f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.

答案

C 4.(2015·陕西卷)观察下列等式

111－2＝2

111111－2＋3－4＝3＋4

111111111－2＋3－4＋5－6＝4＋5＋6

……

据此规律，第n个等式可为________. 解析

第n个等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1，2，…，2n，分子为111111，正负交替出现，即为1－＋－＋…＋－；等式右边共有n项且分2342n－12n111母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为＋＋…＋2n.所以第nn＋1n＋2111个等式可为1－2＋3－4＋…＋111答案

1－2＋3－4＋…＋11111－2n＝＋＋…＋2n. 2n－1n＋1n＋211111－2n＝＋＋…＋2n

2n－1n＋1n＋25.(选修2－2P84A5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝

a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝________. 答案

b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N*)

考点一

归纳推理

【例1】

(1)(2016·山东卷)观察下列等式：

π－22πsin ＋sin 33π－22πsin ＋sin 554＝3×2×3；

π－22πsin ＋sin 77π－22πsin ＋sin 99……

π－22π－23π－22nπ照此规律，sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin 2n＋12n＋12n＋12n＋1－2＝________. 131151117(2)(2017·潍坊模拟)观察下列式子：1＋22<2，1＋22＋32<3，1＋22＋32＋42<4，……，根据上述规律，第n个不等式应该为________. π－22π－2＋…＋解析

(1)观察前4个等式，由归纳推理可知sin＋sin2n＋12n＋14n（n＋1）2nπ－24sin＝×n×(n＋1)＝.

332n＋1(2)根据规律，知不等式的左边是n＋1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，11所以第n个不等式应该为1＋22＋32＋…＋2n＋11<. （n＋1）2n＋13π－2＋sin 73π－2＋sin 96π－2＋…＋sin 78π－2＋…＋sin 9－24＝×3×4；

3－24＝×4×5；

3－24＝×1×2；

33π－2＋sin 54π－2＋sin 5－2



答案

(1)4n（n＋1）

32n＋1111(2)1＋22＋32＋…＋<

（n＋1）2n＋1规律方法

归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.

(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.

(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.

(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. 【训练1】

(1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.

(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）121＝2n＋2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，2以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

11三角形数

N(n，3)＝2n2＋2n，

正方形数

N(n，4)＝n2，

31五边形数

N(n，5)＝2n2－2n，

六边形数

N(n，6)＝2n2－n

……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝____________. 解析

(1)由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n条小鱼需要(2＋6n)根.

n2＋n121(2)三角形数

N(n，3)＝2n＋2n＝2，

2n2－0·n正方形数

N(n，4)＝n＝，

223n2－n321五边形数

N(n，5)＝2n－2n＝2，

4n2－2n六边形数

N(n，6)＝2n－n＝2，

2（k－2）n2－（k－4）nk边形数

N(n，k)＝，

222×102－20×102 200－200所以N(10，24)＝＝＝1 000. 22答案

(1)2＋6n

(2)1 000 考点二

类比推理

a1＋a2＋…＋an也为等差数【例2】

(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}bn＝n列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(

) A.dn＝c1＋c2＋…＋cn

nB.dn＝c1·c2·…·cn

nncn＋cn＋…＋cn12nC.dn＝

nnD.dn＝c1·c2·…·cn

(2)(2017·南昌二中月考)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，OA1OB1OC1CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则AA＋BB＋CC＝1，类比猜想：点O是111空间四面体V－BCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________________.

解析

(1)法一

从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均

n数，故dn的表达式为dn＝c1·c2·…·cn.

法二

若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋（n－1）ddd＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；

222若{cn}是等比数列，则nnc1·c2·…·cn＝c1·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn1·qn（n－1）2n（n－1）d，∴bn＝a1＋2，∴dn＝n－1c1·c2·…·cn＝c1·q2，即{dn}为等比数列，故选D.

OV1OB1OC1OD1(2)利用类比推理，猜想应有VV＋BB＋CC＋DD＝1.

1111用“体积法”证明如下：

OV1OB1OC1OD1VO

－BCDVO

－VCDVO

－VBDVO

－VBCVV－BCDVV1＋BB1＋CC1＋DD1＝VV－BCD＋VB－VCD＋VC－VBD＋VD－VBC＝VV－BCD＝1. OV1OB1OC1OD1答案

(1)D

(2)VV＋BB＋CC＋DD＝1 1111规律方法

(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.

【训练2】

(2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋1＝(

) 1＋1＋…1＋5C.2

1－5D.2

1－5－1A.

2解析

1＋1＋111＋…5－1B.2

1＋51－512＝x，即1＋x＝x，即x－x－1＝0，解得x＝2(x＝2

舍)，故1＋1＋答案

C 111＋…1＋5＝2，故选C. 考点三

演绎推理

n＋2【例3】

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝nSn(n∈N*).证明：

Sn(1)数列n是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an. n＋2证明

(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝nSn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，

即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋1SnS1∴＝2·，又n1＝1≠0，(小前提) n＋1Sn故n是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) Sn＋1Sn－1(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，

n＋1n－1Sn－1n－1＋2∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

n－1n－1＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 规律方法

演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略. 【训练3】

(2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙

说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________. 解析

由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.

答案

1和3

[思想方法] 1.合情推理的过程概括为

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→

归纳、类比―→提出猜想

2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. [易错防范] 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.

基础巩固题组

(建议用时：30分钟) 一、选择题

1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第(

)

A.22项

B.23项

C.24项

D.25项

解析

两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C. 答案

C 2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(

) A.使用了归纳推理

B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”，但推理形式错误

D.使用了“三段论”，但小前提错误

解析

由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误. 答案

C 3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(

) A.f(x)

B.－f(x)

C.g(x)

D.－g(x) 解析

由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x).

答案

D 4.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(

) A.28

B.76

C.123

D.199 解析

观察规律，归纳推理.

从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123. 答案

C 5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；

②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；

③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；

④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；

⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；

acaa·ca⑥“bc＝b”类比得到“b·c＝b”.

以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 解析

①②正确；③④⑤⑥错误.

答案

B 6.(2017·宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好”；

乙说：“我们四人中有人考的好”；

丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；

丁说：“我没考好”.

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是(

) A.甲，丙

B.乙，丁

C.丙，丁

D.乙，丙

解析

甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D. 答案

D 7.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(

) A.n＋1

n2＋n＋2C.

2

B.2n

D.n2＋n＋1 解析

1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直n（n＋1）n2＋n＋2线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，22选C. 答案

C 8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(

)

A.6

C.8

B.7 D.9 解析

由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)层的点数为6(n－1).设一个点阵有n(n≥2，n∈N*)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋6＋6（n－1）22×(n－1)＝3n－3n＋1，由题意得3n－3n＋1＝169，2即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层. 答案

C 二、填空题

9.仔细观察下面○和●的排列规律：○

●

○○

●

○○○

●

○○○○

●

○○○○○

●

○○○○○○

●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析

进行分组

○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，

则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝119，f(15)＝135，故n＝14. 答案

14 10.观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n个等式为________. 解析

观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝22n（n＋1）2n（n＋1）＝.

4222n（n＋1）答案

13＋23＋…＋n3＝

4n（n＋3），易知f(14)＝211.(2017·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am. 解析

等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”

＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：_____________________________________________________________________

答案

在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n

12.已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论ax1＋ax2＞a2x1＋x22成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立. 解析

对于函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点A，

B，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结ax1＋ax2论＞a2x1＋x22成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，

sin x1＋sin x2x1＋x2类比可知应有＜sin 22成立. 答案

sin x1＋sin x2x1＋x2＜sin 22

能力提升题组

(建议用时：15分钟) 13.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(

) A.289

B.1 024

C.1 225

D.1 378 解析

观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，

…an＝an－1＋n.

∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n（n＋1）n＝，

2观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225. 答案

C 1*14.(2017·青岛模拟)若数列{an}的通项公式为an＝2(n∈N)，记f(n)＝(1（n＋1）－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________. 124133解析

f(1)＝1－a1＝1－4＝4，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝41－9＝3＝6，f(3)＝(1－n＋21521－a1)(1－a2)(1－a3)＝316＝8，推测f(n)＝2n＋2. n＋2答案

2n＋2x2y215.若P0(x0，y0)在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，x0xy0yP2，则切点弦P1P2所在的直线方程是a2＋b2＝1，那么对于双曲线则有如下命x2y2题：若P0(x0，y0)在双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________. 解析

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

x1xy1yx2xy2y则P1，P2的切线方程分别是a2－b2＝1，a2－b2＝1.

因为P0(x0，y0)在这两条切线上，

x1x0y1y0x2x0y2y0故有a2－b2＝1，a2－b2＝1，

x0xy0y这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线a2－b2＝1上，

x0xy0y故切点弦P1P2所在的直线方程是a2－b2＝1. x0xy0y答案

a2－b2＝1 16.(2017·郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽

和OB1的长均为1，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直.设回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，从点O到点A1的回形线为第1圈(长为7)，从点A1到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…，依此类推，第8圈的长为________. 解析

第1圈的长为2(1＋2)＋1＝7，第2圈的长为2(3＋4)＋1＝15，

第3圈的长为2(5＋6)＋1＝23，则第n圈的长为2[(2n－1)＋2n]＋1＝8n－1，

当n＝8时，第8圈的长度为8×8－1＝63. 答案

63