3.1.2 复数的几何意义第二课时教学设计

3．1.2

复数的几何意义

【教学目标】

（1）能够类比实数的几何意义说出复数几何意义

（2）会利用几何意义求复数的模；

（3）能够说出共轭复数的概念

【教学重点】

复数的几何意义以及复数的模

【教学难点】

复数的几何意义及模的综合应用

【自主学习】

预习课本P52～53，思考并完成下列问题

(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？

(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？

【新知探究】

1．复平面

2．复数的几何意义

一一对应(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――――――→

复平面内的点Z(a，b) 一一对应――→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

――――→平面向量OZ. 3．复数的模

(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

[点睛]

实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

【基础过关】

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(

) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(

) (3)复数的模一定是正实数．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为(

) A．(0,1)

B．(1,0)

C．(0,0)

D．(1,1) 答案：A[来源:学*科*网]

3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(

) A．z＝1＋2i

C．z＝－1＋2i

答案：B 4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________. 答案：5 【典型例题】

题型一、复数与点的对应关系

[典例]

已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

2mm60解：由2

得

mm20B．z＝1－2i D．z＝－2＋i 3m2

m2或m1m(3,2)(1,2)

[对点练习]

22实数m取什么值时，复数m8m15m5m14i在复平面内所对应的点：

（1）位于第四象限；（2）位于直线yx上；

网ZXXK][来源:Z+xx+k.Com]

【解题技巧】

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

题型二、复数的模

[典例]

(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝(

) A．1＋2i

C．±1±2i

B．－1－2i D．1＋2i或－1－2i (2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(1，＋∞)

B．(－1,1) D．(0，＋∞) [解析]

(1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，

由|z|＝5得

a2＋4a2＝5，

解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝

a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，

所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，

即－1＜a＜1. [答案]

(1)D

(2)B 【解题技巧】

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．

[活学活用]

1．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是(

) A．(－22，22)

B．(－2,2) C．(－1,1)

D．(－3，3) 解析：选D

因为|z|＜2，所以1＋a2＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－3＜a＜3. 12．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．

21解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－2i，

2∴|z1|＝62＋82＝10，

|z2|＝

13()2(2)2＝2. 23∵10>，∴|z1|>|z2|. 23.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z.

提示:可设复数za3i，根据复数z的模为2建立关于a的方程，解之即可.

题型三、复数与复平面内向量的关系

――→――→――→[典例]

向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1――→+OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i

C．0

B．10－8i D．10＋8i ――→――→[解析]

因为向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，所――→――→――→――→以OZ1＝(－5, 4),

OZ2＝(5, －4)，所以OZ2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ1――→+OZ2对应的复数是0. [答案]

C 【解题技巧】

(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．

(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.

[活学活用]

在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．

13z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 2213解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2－，，

22――→――→――→――→Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量OZ1，OZ2,

OZ3,OZ4分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．

各复数的模分别为：|z1|＝12＋(－1)2＝2；

|z2|＝

13()2()2＝1；

22|z3|＝(－2)2＝2；|z4|＝22＋22＝22.

【能力提升】

学业水平达标

1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是(

) A．e1对应实数1，e2对应虚数i B．e1对应虚数i，e2对应虚数i C．e1对应实数1，e2对应虚数－i D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i 解析：选A

e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

22．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(

) 3A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

2解析：选D

∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象3限．

3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(

) A．(1，3)

C．(1,3)

B．(1，5) D．(1,5) 解析：选B

|z|＝a2＋1，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，5)．

5．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．

解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5. 答案：5[来源:学。科。网Z。X。X。K]

6．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z. 解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，

又|－1＋i|＝2，由|z－1|＝|－1＋i|，

得

a2＋1＝2，解得a＝±1，∴z＝±i.

7．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．

(1)若z是实数，求m的值；

(2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

解：(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，

解得m＝－3或m＝1. (2)∵z为纯虚数，

m(m－1)＝0，∴2

解得m＝0. m＋2m－3≠0.

(3)∵z所对应的点在第四象限，

m(m－1)＞0，∴2

解得－3＜m＜0. m＋2m－3＜0.故m的取值范围为(－3,0)．