1.3 二项式定理（通用）教案板书设计

1.3.1 二项式定理

学习目标

重点、难点

1.能用计数原理证明二项式定理．

重点：掌握二项式定理和二项展开式的通2．能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．

项公式，能求特定项和系数．

3．能解决与二项式定理有关的简单问题.

难点：解决与二项式定理有关的简单问题.

1．二项式定理

n0n1n－1kn－kknn*(a＋b)＝Cna＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnb(n∈N) (1)这个公式叫做二项式定理．

n(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)的二项式的展开式，展开式中一共有____项．

(3)二项式系数：各项的系数__(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

2．二项展开式的通项

n(a＋b)展开式中第k＋1项____________(k∈{0,1,2，…，n})称为二项展开式的通项．

预习交流

(1)二项展开式的特点有哪些？

n(2)(x＋1)的展开式共有11项，则n等于(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12 17(3)2x－的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为x__________，x的次数为5的项为__________．

答案：

k1．(2)n＋1 (3)Cn

kn－kk2．Tk＋1＝Cnab

预习交流：(1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指rn－rr数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n；③通项公式Tr＋1＝Cnab指的是第r＋1项，r不是第r项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，Cn叫做二项式系数，而某一3项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)的二项展开式中第3项的二项式系数为222C3＝3，而该项的系数为C3·2＝12. (2)提示：B 5(3)提示：21 －84 －448x

在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！

我的学困点

我的学疑点

1

一、二项式定理的直接应用

求3x＋14x的展开式．

思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．

32化简：(x－1)＋5(x－1)＋10(x－1)＋10(x－1)＋5(x－1)．

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熟记二项式(a＋b)的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较n复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．

二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算

1．(2011山东高考，理14)若x－a6x2展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．

思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x的项即可．

2．(2011天津高考，理5)在1515A．－ B．

44x26－的二项展开式中，x2的系数为(

)．

x233C．－ D．

88思路分析：利用二项展开式的通项公式求．

x－x61．(2011陕西高考，理4)(4－2)(x∈R)展开式中的常数项是(

)．

A．－20 B．－15 C．15 D．20 2742．(2011广东高考，理10)xx－的展开式中，x的系数是________．(用数字作答) x

求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Cnakn－kkb的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．

(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．

三、二项式定理的应用(整除问题)

试判断77－1能否被19整除．

7777思路分析：由于76是19的倍数，可将77转化为(76＋1)用二项式定理展开．

77证明：3

2n＋2

－8n－9是64的倍数．

2

用二项式定理解决a＋b整除(或余数)问题时，一般需要将底数an写成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．

答案：

10113x＋14012432活动与探究1：解法1：＝C(3x)＋C(3x)·＋C(3x)444xxxx141211342302＋C4(3x)＋C4(3x)＝81x＋108x＋54＋＋2. xxxxx＋413x＋144322解法2：＝2(81x＋108x＋54x＋12x＋1)＝81x＋108x＋54＝2xxx121＋＋2. xx迁移与应用：解：原式＝C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5－551＝[(x－1)＋1]－1＝x－1. 活动与探究2：1.4 解析：由二项式定理可知Tr＋1＝C6x令6－3r＝0，得r＝2，

∴T3＝C6(－a)＝60. ∴15a＝60.∴a＝4. 22．C 解析：设含x的项是二项展开式中第r＋1项，

2rrx6－r则Tr＋1＝C6·－

x2r16－rr3－r＝C6(－2)x. 2220514233245r6－rarrr6－3r－2＝C6(－a)x，

x令3－r＝2，得r＝1. 32115∴x的系数为C6(－2)＝－. 82迁移与应用：1.C 解析：设第r＋1项为常数项，

2x(6－r)－xrrr12x－2rx－rxTr＋1＝Cr(－2)＝(－1)·C62，

62∴12x－3rx＝0，

∴r＝4. 44∴常数项为T5＝(－1)C6＝15. 2r27r7－rrr7－2r2．84 解析：x－的通项Tr＋1＝C7x－＝(－2)C7x.令7－2r＝3得r＝2. xx4×7×62727322因而x－展开式中含x项的系数为(－2)·C7＝＝84.故xx－的展开式2xx中，x的系数为84. 7777活动与探究3：解：77－1＝(76＋1)－1 7717627576777617527476＝76＋C77·76＋C77·76＋…＋C77·76＋C77－1＝76(76＋C7776＋C7776＋…＋C77)．

77由于76能被19整除，因此77－1能被19整除．

2n＋2迁移与应用：证明：∵3－8n－9 n＋1n＋1＝9－8n－9＝(8＋1)－8n－9 n＋11nn－12n＝8＋Cn＋1·8＋…＋Cn＋1·8＋Cn＋1·8＋1－8n－9

3 4

＝8＋Cn＋1·8＋…＋Cn＋1·8＋8(n＋1)＋1－8n－9＝8n－11n－2n－1＝(8＋Cn＋1·8＋…＋Cn＋1)·64，

2n＋2故3－8n－9是64的倍数．

n＋11nn－12n＋1＋Cn＋1·8＋…＋Cn＋1·8

1nn－121161.x－的二项展开式中第4项是(

)．

x12A．C16x B．C16x C．－C16x D．C16x

2310310482152．(2012天津高考，理5)在2x－的二项展开式中，x的系数为(

)．

xA．10 B．－10 C．40 D．－40 3．(2012山东省实验中学诊断，理6)二项式x＋A．第10项 B．第9项

2210x

的展开式中的常数项是(

)．C．第8项 D．第7项

164．(2012湖南高考，理13)2x－的二项展开式中的常数项为________．(用数字x作答) 4205．在(x＋3y)的展开式中，系数为有理数的项共有__________项．

6．(1－x)·(1－x)的展开式中x的系数是__________．

答案：

1．C 解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C16·(x)∴第4项为T4＝(－1)C16·x＝－C16x. 2．D 解析：Tr＋1＝C5(2x)r25－r3310310432r16－r1rrr16－2r·－＝(－1)·C16·x，

x－1r＝(－1)r25－rCrx10－3r，

x535－335∴当10－3r＝1时，r＝3.∴(－1)2C＝－40. 2rrr5r5rr20－2r3．B 解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝C10x＝2C10·x20－2，令20－2＝0，x得r＝8. ∴常数项为第9项．

164．－160 2x－的通项为

x6－rTr＋1＝Cr6(2x)－1rrr6－r3－r6－333r＝3.故(－1)3C3＝－C6262＝(－1)C62x.当3－r＝0时，x＝－160. 5．6 解析：∵Tr＋1＝3C20x4rr20－rry(r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，

∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．

6．－6 解析：展开式中的x项为C4·(－x)·C3·(－x)＋C4(－x)C3＝－6x.

用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识

4 211222202

记． 知识精华

技能要领

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