阅读与思考 海伦和秦九韶教案公开课一等奖

基于数学史的海伦公式与三斜求积教学设计

【教材】

人教A版普通高中数学必修五1.2阅读与思考

海伦与秦九韶

【教材分析】

本节课内容选自教材的一个阅读材料，主要是学习如何利用三角形三边求其面积。教材中通过数学史直接给出古希腊的海伦公式以及中国古代的三斜求积。利用数学史吸引了学生的兴趣，并且进行了中西方的数学史对比以及相关人物的介绍，可以更好的了解相关的数学历史。但直接给出已知三角形三边求其面积的公式，学生往往知其然不知其所以然，不能真正懂得公式的获得过程。并且没有给出两个公式的联系，凸显不出数学的不变性。同时仅仅给出已知三边求三角形面积的公式，往往只是孤立地学习求三角形面积的方法，并不能系统地学习三角形面积的方法及其联系。本节课内容在教材中只是一个阅读材料，往往易被老师学生所忽略，因此并不能将很好地学习海伦公式以及其中的数学史，不能很好地享受其中中西方的一场文化盛宴。

【学情分析】

1、认知基础：学生已经在前面一节中学习了正弦定理和余弦定理，同时学生也在初中时学过了勾股定理，并学会两种求三角形面积的方法，学生对代数式的运算比较熟练。

2、认知障碍：海伦公式与三斜求积的联系。

【教学目标】

1、知识与技能

（1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。

（2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，明白它们之间的数学本质是一样的。

（3）应用海伦公式与三斜求积解决实际问题。

2、过程与方法

（1）经历了已知三角形三边求其面积的过程，系统地学习了求三角形面积的方法。

（2）通过利用已知三角形底边和高求三角形面积的公式和从已知三角形两边及其夹角的求三角形面积的公式来解决已知三角形三边求三角形面积的问题，学习了从未知转化为已知的化归思想。

3、情感态度与价值观

（1）从不同的文化中感受数学文化的丰富内涵，体会中西方文化的多样性，体会到数学的不变性。

（2）从海伦公式中体会到数学公式的简洁美。

【教学重难点】

重点：掌握海伦公式和三斜求积。

难点：理解海伦公式与三斜求积之间的关系。

【教学过程】

（一）复习

问题1：求三角形的面积的方法有哪些？

学生活动：三角形面积等于二分之一底乘高。

总结：已知三角形的底和高，三角形面积为二分之一底乘高即S1ch。

2教师活动：拓宽学生思路，引导回忆起已知三角形的两边以及夹角推导出的求三角形面积的公式。

学生活动：回忆并作答。

总结：已知三角形的两边以及夹角，三角形面积为二分之一两边之积乘夹角的正弦值即S111bcsinA、

SacsinB

、SabsinC。

222（二）情境问题引入

情境引入：提出《数学九章》中的一个问题“有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲求为田几何。”并且进行翻译:有一块沙田，它有三条边，小边有13里，中边有14里，大边有15里，记300步为1里。问这块沙田有多大？

问题2:已知三角形的三边a、b、c，如何求三角形的面积？

学生活动：思考并进行简单作答。

（三）问题求解

教师活动：引导学生通过上面的两个面积公式求解问题。

1、根据S1absinC解决问题

2

根据已知三角形两边以及夹角，则三角形面积为二分之一两边之积乘夹角的正弦值，推导出已知三边求三角形的面积的公式。

S1absinC

2

a、b已知，关键在于将sinC用a、b、c表示出来。

根据余弦定理可得

a2b2c2cosC①

2ab又有sin2Ccos2C1②

联立①②可得

a2b2c22

sinC1-cosC1-2ab

2

（说明由于三角形内角是大于0小于180度的，故sinC的值为正值。）22a2b2c211122a2b2c2ab

SabsinCab1-222ab42归纳：根据余弦定理以及所学的面积公式推导得出该公式

进一步分析：

21122a2c2b2acSacsinB24221122b2c2a2bcSbcsinA242

观察得出结论：三角形的面积会等于根号内四分之一的两条邻边的平方之积减这两条邻边的平方和减对边的平方除以2的平方。（强调三条公式的共性，强调公式的不变性与字母的可变性。）

S1ch22、根据求解问题

根据已知三角形的底和高，三角形面积为二分之一底乘高，推导出已知三边求三角形的面积的公式。

1Sch

2

c已知，所以关键在于将h用a、b、c表示出来。

根据勾股定理知

ACbhcDaBh2b2AD2①

h2a2BD2a2(cAD)2②

联立①②可得

a2(cAD)2b2AD2

解得

b2c2a2AD③

2c将③代入①可得

2b2c2a22

hb2cS1ch22b2c2a212cb22c

2221bca22cb422（注：在实际课堂中这种解法可以引导学生进行思考，让学生自己到黑板进行作答。）

归纳：根据勾股定理以及所学的面积公式可推导得出该公式

（四）三斜求积历史介绍

教师活动：介绍所推导出的公式的历史

我国南宋著名的数学家秦九韶发现了从三角形三边求面积的的公式，在其著作《数学九章》卷五“田域类”里面有一个题目“有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲求为田几何。”也即是刚刚我们看到的题目，在里面就

记载了秦九韶的求法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”我们用a表示小斜，b表示大斜，c表示中斜，用公式来表示上述的话就是

122a2b2c2ab422

这也就是我们刚刚所推导出来的公式。秦九韶把这个公式称为“三斜求积”。

秦九韶的“三斜求积”虽然从三角形三边求出了三角形的面积，可是三斜求积形式较为繁琐，公式不简洁，也不便于记忆。

（五）海伦公式历史介绍

教师活动：介绍海伦公式的历史

无独有偶的是，在世界上的另一个国度的另一个数学家，也同样求出了已知三角形三边求面积的公式，他就是古希腊的数学家海伦，海伦在其著作《测地术》中就记载了从三角三边求面积的一个公式

Sp(pa)(pb)(pc)

p1(abc)

2其中p表示的是三角形周长的一半，面积S等于根号内p乘p减每一条边后的乘积，可以发现，海伦求出的这个公式比秦九韶的三斜求积形式漂亮多了，特别简洁，也便于记忆。后来，海伦在其著作《测量仪器》和《度量术》中给出了该公式的证明。人们也将这个形式漂亮的公式称作是海伦公式。

（六）海伦公式与三斜求积的联系

教师活动：海伦公式与三斜求积同样是已知三角形的三边求三角形的面积的公式，那么这两条公式有没有什么样的联系呢？

三斜求积公式形式繁琐，而海伦公式形式是那么的简洁，这两条公式之间到底有没有联系呢？接下来，我们可以进行一个大变形，将三斜求积的公式变成海伦公式。

122a2b2c22S[ab()]42ab2a2b2c22()()24aba2b2c2aba2b2c2()()2424c2(ab)2(ab)2c2.44cabcababcabc...2222abcabcabcabc.(a)(b)(c)2222p(pa)(pb)(pc)p1(abc)2

通过平方差公式的变形作用，我们就把三斜求积跟海伦公式联系到了一起，一个复杂的公式，通过变形就可以变成那么的简洁，数学就是这么神奇。

（七）文化盛宴

教师活动：讲述中西方的数学文化

古希腊数学家海伦给出了海伦公式并且给出了海伦公式的证明，而秦九韶只是给出了公式，并用此公式来解决实际生活中的问题，像刚刚介绍的求田地面积的测量问题。从中我们可以看出，古希腊的数学以演绎为体系，注重的是推理。而中国古代的数学以算法为体系，讲究的是实用。中西方的文化虽然不同，但知识确是融会贯通的，可以看到海伦公式与三斜求积形式上是不一样的，但通过等式变形，可以看到他们的本质却是一样的。海伦公式与三斜求积的提出，无疑是两个不同时空的伟大数学家之间的完美交流。同时，我们也可以看到数学在变化中的不变性。这两个数学家真的给我们带来了一个丰厚的文化盛宴。

（八）练习

问题3：学了这么多，还记得《数学九章》中提出的那个问题吗？有一块三角形沙田，有三条边，小边有13里，中边有14里，大边有15里。求这块沙田的面积？分别用三斜求积公式和海伦公式来求解这个问题吧？

学生作答：

利用三斜求积作答：

122a2b2c2abS422222211315141321524284

利用海伦公式作答：

p1(abc)21

2Sp(pa)(pb)(pc)21(21-13)(21-14)(21-15)

84教师归纳：通过这个例子的验算，也可以发现两个公式的答案是一样的，也就验证了海伦公式和三斜求积的一致性。而且我们通过计算可以发现，海伦公式的计算会更加的简单，计算量也减少了很多。所以，海伦公式不仅形式简洁，计算也更简便。

（九）小结归纳

教师归纳：求三角形的面积公式，我们以前学过了

1ch。

2111②已知两边及其夹角SbcsinA、

SacsinB

、SabsinC。

222①已知底边及高S今天我们又学习了一条新的公式

③已知三边

122a2b2c2abS422、

（三斜求积）2Sp(pa)(pb)(pc)p1(abc)【板书设计】

三角形面积求法

①已知底边及高S（海伦公式）

1ch。

进行三斜求积的推导演算。

2②已知两边及其夹角

以及三斜求积与海伦公式之

S111bcsinA、

SacsinB

、SabsinC。

间的联系的演算。

222③已知三边

2222122abcabS、

42（三斜求积）Sp(pa)(pb)(pc)p1(abc)2（海伦公式）