1.3 二项式定理（通用）教学设计第一课时

课

题：

二项式定理(二) 教学目的：

1进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用； r2.展开式中的第r1项的二项式系数Cn与第r1项的系数是不同的概念

教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用

教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnab1（2）(1x)n1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn. rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab

二、讲解范例：

例1．（1）求(12x)7的展开式的第四项的系数；

3（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

1x93解：(12x)的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

7∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x719x∴92r3，r3，

3r9r1()r(1)rC9rx92r，

x33∴x的系数(1)3C984，x的二项式系数C984．

3课堂练习：(x+2x)的展开式的第4项的二项式系数是( 35 );第4项的系数是( 280 )

例2．求(x3x4)的展开式中x的系数

3724分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

2424

1

显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是C4343768

（法二）：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404132223344(C104xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x4C4x4C44)

(1xx)(1x)的展开式中，2x5的系数是∴展开式中含x的项的系数是C344C343768．

44课堂练习：

(1xx2)(1x)10的展开式中，x5的系数是?（答案：-162）

例3．已知(x124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：2Cn

∴Tr1Cr811121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）

22163rrrr1rr8rC824(4)()C8xx1rx4222xx8r1r0r8

rZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，

4163r为整数，

4∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若Tr1是有理项，当且仅当∴0r8,rZ，∴

r0,4,8，

4即

展开式中有三项有理项，分别是：T1x，T53512x，T9x

8256课堂练习：

1.(12)7展开式中有理项的项数是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7 解答：通项Tr1C(2)C2，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）

2. (xr7rr7r22x)6展开式中常数项是（ ）

44A.第4项 B.24C6 C.C6 D.2 r6r解答：通项Tr1C6x(2xr)rC6x36r232r，由6r0r4，常数项是2

2

44T5C62，选（B）

解答：通项Tr1C(2)C2，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A）

思考题：已知f(x)12x14x

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，求mnr7rr7r2展开式中含x项的系数最小值

2分析：展开式中含x项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得22m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12x14x展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，

mn12xm14x展开式中含x2的项的系数为

n22222Cn42m22m8n28n，

tCm∵m2n18，

∴m182n，

22∴t2(182n)2(182n)8n8n16n148n612

216(n23715337*n)，∴当n时，t取最小值，但nN，

4482∴

n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

四、小结

：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；

2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

五、课后作业：

优化：125-126

六、板书设计（略）

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