小结主要内容及教案内容

回扣验收特训（三）

不等式

111．若a＜b＜0，则下列不等式不正确的是(

) A．a＋b＜ab

C．ab＜b2

ba

B.a＋b＞0

D．a2＞b2

11解析：选D

由＜＜0，可得b＜a＜0，故选D. ab2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于(

) A．－3 C．－1

B．1

D．3 解析：选A

由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：

a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3. x2＋23．函数y＝(x＞1)的最小值是(

) x－1A．23＋2 C．23 解析：选A

∵x＞1，

∴x－1＞0. x2＋2x2－2x＋2x＋2∴y＝＝

x－1x－1x2－2x＋1＋2x－1＋3＝

x－1x－12＋2x－1＋3＝

x－1＝x－1＋3＋2 x－13，即x＝3＋1时等号成立）．

x－1

B．23－2

D．2 ≥23＋2（当且仅当x－1＝4．不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为(

) 3－∞，

A.23C.2，＋∞

3－∞，－

B.23－，＋∞

D.2

解析：选A

不等式|x－2|－|x－1|＞0即|x－2|＞|x－1|，平方化简可得

2x＜3，解得x3＜，故选A. 2x＋y－7≤0，5．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，y≥0.圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(

) A．5 C．37

B．29

D．49

若圆心C∈Ω，且解析：选C

由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C. xy6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值z212时，＋－的最大值为(

) xyzA．0 9C.

4

B．1

D．3 解析：选B

由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，

xyxy1∴z＝2. 2＝x－3xy＋4yx4yy＋x－3x4yxy又x，y，z为正实数，∴＋≥4，即≤1，

yxz当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2. 212212∴＋－＝＋－2

xyz2yy2y1221－12＋1，

＝－＋＝－yyy1当＝1，即y＝1时，上式有最大值1. yx－1≥0，7．若x，y满足约束条件x－y≤0，x＋y－4≤0，解析：画出可行域如图阴影部分所示，

y∵x表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，

y则的最大值为________．

x

y∴点(x，y)在点A处时最大．

xx＝1，x＝1，由得

x＋y－4＝0，y＝3.

∴A(1,3)．

y∴x的最大值为3. 答案：3 t＋118．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga(填“>”“≥”“≤”22或“<”)．

解析：因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，

又a>0，所以a>1，

t＋1因为t>0，所以≥

t，

2所以logat＋11≥logat＝logat. 22答案：≤

y≥x，9．若实数x，y满足约束条件x＋y≤4，2x－y≥k.

已知点(x，y)所表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围为________，又z＝x＋2y有最大值8，则实数k＝________. 解析：作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．要想点(x，y)所表示的平面区域为三角形，则B(2,2)必须在直线2x－y＝k的右下方，即2×2－2>k，则k<2，则实数k的取值范围为(－∞，2)．

观察图象可知，当直线z＝x＋2y过点A时，z有最大值，联立2x－y＝k，解得x＋y＝4，

8－ky＝3，x＝4＋k，3

4＋k8－k4＋k8－k即A，代入z＝x＋2y中，即＋2×＝，33338，解得k＝－4. 答案：(－∞，2)

－4 10．已知函数f(x)＝|x－2|. (1)解不等式：f(x＋1)＋f(x＋2)＜4；

(2)已知a＞2，求证：对任意x∈R，f(ax)＋af(x)＞2恒成立．

解：(1)f(x＋1)＋f(x＋2)＜4，即|x－1|＋|x|＜4，

3①当x≤0时，不等式为1－x－x＜4，即x＞－，

23∴－＜x≤0是不等式的解；

2②当0＜x≤1时，不等式为1－x＋x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；

5③当x＞1时，不等式为x－1＋x＜4，即x＜，

25∴1＜x＜是不等式的解．

235－，.

综上所述，不等式的解集为22(2)证明：∵a＞2，

∴f(ax)＋af(x)＝|ax－2|＋a|x－2| ＝|ax－2|＋|ax－2a|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＞2，

∴对任意x∈R，f(ax)＋af(x)＞2恒成立．

11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．

(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额) (1)从第几年开始获利？

(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：

①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；

②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；

问哪种方案最合算？为什么？

解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f(n)＝－2n2＋40n－72. (1)获利就是要求f(n)>0，所以－2n2＋40n－72>0，解得2

36fnn＋n≤16. (2)①年平均利润＝＝40－2n当且仅当n＝6时取等号．

故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6. ②f(n)＝－2(n－10)2＋128. 当n＝10时，f(n)max＝128. 故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，

故比较两种方案，获利都是144万美元．

但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．

b－312．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求a－1的最大值和最小值．

解：设f(x)＝x2＋ax＋2b，

由题意f(x)在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，

f0≥0，b≥0，∴f1≤0，即a＋2b＋1≤0，f2≥0，a＋b＋2≥0，

建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图．

a＋2b＋1＝0，由

a＋b＋2＝0，a＝－3，解得即C(－3,1)．

b＝1，

b－3令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．

a－131又B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝，kAC＝，

221b－33∴≤≤. 2a－12故b－331的最大值是，最小值是. 22a－1