2.2.1 综合法和分析法教学目标设计

综合法与分析法

2．2.1 综合法和分析法

【课标要求】

1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．

2．理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题．

【核心扫描】

1．综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2．综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)

自学导引

1．直接证明

从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．

2．综合法

(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

3．分析法

(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

(2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

想一想：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

提示

综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

名师点睛

1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．

综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论) 2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．

分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn(结论) 分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．

3．综合法与分析法的优点

综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识．

分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应

用两种方法，有时甚至交错使用. 随县第一高级中学

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综合法与分析法

题型一

综合法的应用

【例1】

设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列；

3(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：21为等差数列．

bn[思路探索] 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．

证明

利用综合法证明问题的步骤：

(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．

(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

11【变式1】

已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4. ab证明

题型二

分析法的应用

2【例2】

设a，b为实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．

2[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的格式即可．

证明

用分析法证明不等式时应注意

(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；

(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．

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综合法与分析法

【变式2】

已知a，b是正实数，求证：证明

ab＋≥

a＋b. ba题型三

综合法和分析法的综合应用

【例3】

已知a、b、c是不全相等的正数，且0

[规范解答]

【题后反思】

综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．

π【变式3】

已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且

2sin θ＋cos θ＝2sin

α，①

sin θ·cos θ＝sin2β，②

1－tan2α1－tan2β求证：＝. 1＋tan2α21＋tan2β证明

误区警示

因逻辑混乱而出错

【示例】

设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b. [错解] ∵a∥b，且a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；

∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，

sin αsin β即sin αsin β＝16cos αcos β，∴·＝16，

cos αcos β∴tan αtan β＝16，即结论正确．

以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．

[正解] (分析法)：要证明a∥b，而a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；

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综合法与分析法

∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，

sin αsin β即要证·＝16，即要证tan αtan β＝16，

cos αcos β而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．

sin αsin β(综合法)：∵tan αtan β＝16，∴·＝16，

cos αcos β即sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，

即a＝(4cos α，sin α)与b＝(sin β，4cos β)共线，∴a∥b. 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解

题过程.

【例1】题型一

综合法的应用

设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常随县第一高级中学

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综合法与分析法

数，且m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列；

3(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：21为等差数列．

bn[思路探索] 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．

证明

(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3得

(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3. 两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)，

an＋12m∴＝，∴{an}是等比数列．

anm＋32m(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝，∴n∈N*，n≥2时，

m＋3332bn－1111bn＝f(bn－1)＝·⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒－＝. 22bn－1＋3bnbn－1311∴数列b为首项为1，公差为的等差数列．

3n

利用综合法证明问题的步骤：

(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．

(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

11【变式1】

已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4. ab证明

法一

∵a，b是正数且a＋b＝1，

111a＋b1∴a＋b≥2ab，∴ab≤，∴＋＝＝≥4. 2ababab法二

∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0，

111＋≥2 >0，

abab11∴(a＋b)a＋b≥4. 11又a＋b＝1，∴＋≥4. ab11a＋ba＋bbaba法三

＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ·＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”abababab号．

题型二

分析法的应用

2【例2】

设a，b为实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．

2[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的格式即可．

证明

当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，

2∴a2＋b2≥(a＋b)成立．

2当a＋b>0时，用分析法证明如下：

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2(a＋b)，

22只需证(a2＋b2)2≥a＋b2，

21即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab. 222∵a＋b≥2ab对一切实数恒成立，

2∴a2＋b2≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．

2

用分析法证明不等式时应注意

(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；

(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；

(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．

ab【变式2】

已知a，b是正实数，求证：＋≥

a＋b. baab证明

要证＋≥a＋b，

ba只要证aa＋bb≥ab·(a＋b)．

即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，

因为a，b是正实数，

即证a＋b－ab≥ab，

也就是要证a＋b≥2ab，

即(a－b)2≥0. ab该式显然成立，所以＋≥a＋b. ba题型三

综合法和分析法的综合应用

【例3】

已知a、b、c是不全相等的正数，且0

要证a2＋b2≥

[规范解答] 要证明：

a＋bb＋ca＋clogx＋logx＋logx

222a＋bb＋ca＋c只需要证明logx2·2·2abc.(4分) 222a＋bb＋ca＋c由公式≥ab>0，≥bc>0，≥ac>0.(8分) 222又∵a，b，c是不全相等的正数，

a＋bb＋ca＋c∴··>a2b2c2＝abc.(10分) 222a＋bb＋ca＋c即··>abc成立．

222a＋bb＋ca＋c∴logx＋logx＋logx

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综合法与分析法

【题后反思】

综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．

π【变式3】

已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且

2sin θ＋cos θ＝2sin

α，①

sin θ·cos θ＝sin2β，②

1－tan2α1－tan2β求证：＝. 1＋tan2α21＋tan2β证明

因为(sin θ＋cos θ )2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1③

1－tan2α1－tan2β另一方面，要证＝，

1＋tan2α21＋tan2βsin2αsin2β1－21－2cosαcosβ即证，

2＝sinαsin2β1＋21＋cosα2cos2β1即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，

21即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，

22即证4sinα－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．

误区警示

因逻辑混乱而出错

【示例】

设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b. [错解] ∵a∥b，且a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；

∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，

sin αsin β即sin αsin β＝16cos αcos β，∴·＝16，

cos αcos β∴tan αtan β＝16，即结论正确．

以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．

[正解] (分析法)：要证明a∥b，而a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；

∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，

sin αsin β即要证·＝16，即要证tan αtan β＝16，

cos αcos β而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．

sin αsin β(综合法)：∵tan αtan β＝16，∴·＝16，

cos αcos β即sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，

即a＝(4cos α，sin α)与b＝(sin β，4cos β)共线，∴a∥b. 分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解

题过程.

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